Calcul du Débit sous une Vanne de Fond

Comprendre l'Écoulement sous une Vanne

Les vannes de fond sont des dispositifs de régulation utilisés dans les canaux pour contrôler le niveau d'eau amont ou le débit. Lorsque l'eau passe sous la vanne, elle accélère et sa hauteur diminue, formant un écoulement torrentiel. Le jet se contracte jusqu'à une section minimale appelée "vena contracta". L'écoulement est dit dénoyé (ou libre) lorsque le niveau d'eau en aval est suffisamment bas pour ne pas influencer le débit. Dans ce cas, le débit dépend uniquement de la hauteur d'eau en amont et de l'ouverture de la vanne.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un canal rectangulaire sous une vanne de fond. L'écoulement est considéré dénoyé.

Caractéristiques géométriques et hydrauliques :

Largeur du canal (\(B\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Hauteur d'eau en amont de la vanne (\(y_1\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
Ouverture de la vanne (\(a\)) : \(0.4 \, \text{m}\)
Coefficient de contraction (\(C_c\)) : \(0.61\)
On négligera les pertes de charge (\(C_v = 1.0\)).
Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma : Écoulement Dénoyé sous une Vanne de Fond

Questions à traiter

Calculer la hauteur du jet à la vena contracta (\(y_c\)).
Calculer le débit par unité de largeur (\(q\)) sous la vanne.
Calculer le débit total (\(Q\)) dans le canal.

Correction : Calcul du Débit sous une Vanne de Fond

Question 1 : Calcul de la Hauteur à la Vena Contracta (\(y_c\))

Principe :

Juste après être passé sous la vanne, le jet d'eau continue de se contracter verticalement jusqu'à atteindre une hauteur minimale. Cette section de hauteur minimale est la "vena contracta". Sa hauteur, \(y_c\), est directement proportionnelle à l'ouverture de la vanne, \(a\), via le coefficient de contraction \(C_c\).

Formule(s) utilisée(s) :

y_c = C_c \cdot a

Données spécifiques :

Coefficient de contraction (\(C_c\)) : \(0.61\)
Ouverture de la vanne (\(a\)) : \(0.4 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} y_c &= 0.61 \times 0.4 \, \text{m} \\ &= 0.244 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La hauteur du jet à la vena contracta est \(y_c = 0.244 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul du Débit par Unité de Largeur (\(q\))

Principe :

Le débit sous une vanne en régime dénoyé est calculé en appliquant le théorème de Bernoulli entre un point en amont (section 1) et la vena contracta (section c). En négligeant la vitesse d'approche en amont (si \(y_1 \gg y_c\)) et les pertes de charge, la vitesse à la vena contracta dépend de la hauteur d'eau amont. Le débit est alors le produit de cette vitesse par la section contractée.

Formule(s) utilisée(s) :

q = C_c \cdot a \cdot \sqrt{2gy_1}

Cette formule est une simplification courante. Une formule plus précise qui ne néglige pas la vitesse d'approche est :

q = C_d \cdot a \cdot \sqrt{\frac{2g y_1}{1 + \frac{C_d a}{y_1}}}

Ici, avec \(C_v = 1\), le coefficient de débit \(C_d\) est égal à \(C_c\). Nous utiliserons la première formule, plus directe et souvent suffisante.

Données spécifiques :

\(C_c = 0.61\)
\(a = 0.4 \, \text{m}\)
\(y_1 = 2.5 \, \text{m}\)
\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} q &= 0.61 \times 0.4 \times \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} \\ &= 0.244 \times \sqrt{49.05} \\ &= 0.244 \times 7.003 \\ &\approx 1.709 \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned}

Résultat Question 2 : Le débit par unité de largeur est \(q \approx 1.71 \, \text{m}^2/\text{s}\).

Question 3 : Calcul du Débit Total (\(Q\))

Principe :

Le débit total dans le canal est obtenu simplement en multipliant le débit par unité de largeur par la largeur totale du canal, en supposant que l'écoulement est uniforme sur toute la largeur.

Formule(s) utilisée(s) :

Q = q \cdot B

Données spécifiques :

Débit par unité de largeur (\(q\)) : \(\approx 1.71 \, \text{m}^2/\text{s}\)
Largeur (\(B\)) : \(3.0 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} Q &= 1.71 \, \text{m}^2/\text{s} \times 3.0 \, \text{m} \\ &= 5.13 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le débit total sous la vanne est \(Q \approx 5.13 \, \text{m}^3/\text{s}\).

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