ÉTUDE HYDRAULIQUE

Positionnement d’un Ressaut Hydraulique

Positionnement d'un Ressaut Hydraulique

Positionnement d'un Ressaut Hydraulique

Comprendre le Ressaut Hydraulique

Le ressaut hydraulique est un phénomène de transition brusque qui se produit dans les canaux à surface libre lorsqu'un écoulement torrentiel (rapide, de faible hauteur, nombre de Froude > 1) passe à un écoulement fluvial (lent, de grande hauteur, nombre de Froude < 1). Cette transition s'accompagne d'une augmentation soudaine de la hauteur d'eau, de turbulences intenses et d'une dissipation d'énergie significative. Le positionnement correct du ressaut est crucial dans la conception des ouvrages hydrauliques (barrages, vannes) pour protéger le lit du canal contre l'érosion.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un canal rectangulaire de grande largeur. Une vanne de fond contrôle le débit.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement :

  • Type de canal : Rectangulaire, horizontal (\(S_0 = 0\))
  • Débit par unité de largeur (\(q\)) : \(5 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Hauteur d'eau contractée juste en aval de la vanne (\(y_1\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur normale (d'équilibre) à l'aval lointain (\(y_{\text{n}}\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Coefficient de Manning pour le canal (\(n\)) : \(0.015 \, \text{s}/\text{m}^{1/3}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Ressaut Hydraulique en Aval d'une Vanne
Vanne Ressaut y_1 y_2 y_n L_ressaut

Ressaut hydraulique se formant en aval d'une vanne de fond.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de Froude (\(Fr_1\)) dans la section contractée (section 1). L'écoulement est-il bien torrentiel ?
  2. Calculer la hauteur conjuguée (\(y_2\)) du ressaut hydraulique.
  3. Comparer la hauteur conjuguée (\(y_2\)) à la hauteur normale (\(y_{\text{n}}\)). Quel type de ressaut se produira (noyé, normal, dénoyé) ?
  4. Calculer la pente de la ligne d'eau (\(S_{\text{f}}\)) pour l'écoulement uniforme à la hauteur \(y_{\text{n}}\).
  5. Déterminer la longueur du profil d'eau (\(L\)) entre la section où la hauteur est \(y_1 = 0.5 \, \text{m}\) et le début du ressaut.

Correction : Positionnement d'un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Nombre de Froude (\(Fr_1\)) et Régime d'Écoulement

Principe :

Le nombre de Froude (\(Fr\)) est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Si \(Fr > 1\), l'écoulement est dit "torrentiel" (ou supercritique). Si \(Fr < 1\), il est "fluvial" (ou subcritique). Si \(Fr = 1\), il est "critique". La vitesse \(V\) est obtenue à partir du débit par unité de largeur \(q\) et de la hauteur d'eau \(y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V = \frac{q}{y} \quad \Rightarrow \quad Fr = \frac{V}{\sqrt{gy}}\]
Données spécifiques :
  • \(q = 5 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • \(y_1 = 0.5 \, \text{m}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[V_1 = \frac{5 \, \text{m}^2/\text{s}}{0.5 \, \text{m}} = 10 \, \text{m/s}\]
\[Fr_1 = \frac{10 \, \text{m/s}}{\sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.5 \, \text{m}}} = \frac{10}{\sqrt{4.905}} \approx 4.51\]

Comme \(Fr_1 \approx 4.51 > 1\), l'écoulement dans la section 1 est bien torrentiel.

Résultat Question 1 : Le nombre de Froude est \(Fr_1 \approx 4.51\). L'écoulement est torrentiel.

Question 2 : Hauteur Conjuguée (\(y_2\))

Principe :

La hauteur conjuguée (\(y_2\)) est la hauteur d'eau en régime fluvial juste après le ressaut. Elle est liée à la hauteur torrentielle en amont (\(y_1\)) et au nombre de Froude (\(Fr_1\)) par la relation de Bélanger, qui est dérivée de l'application du théorème des quantités de mouvement à travers le ressaut.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)\]
Données spécifiques :
  • \(y_1 = 0.5 \, \text{m}\)
  • \(Fr_1 \approx 4.51\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_2 &= \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \\ &= \frac{0.5}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \times (4.51)^2} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{1 + 162.72} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{163.72} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( 12.80 - 1 \right) \\ &\approx 2.95 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La hauteur conjuguée du ressaut est \(y_2 \approx 2.95 \, \text{m}\).

Question 3 : Type de Ressaut

Principe :

La position et la forme du ressaut dépendent de la relation entre la hauteur conjuguée requise (\(y_2\)) et la hauteur normale (\(y_{\text{n}}\)) imposée par le canal en aval.
- Si \(y_{\text{n}} > y_2\), le contrôle aval "repousse" le ressaut vers la vanne, créant un ressaut noyé.
- Si \(y_{\text{n}} = y_2\), le ressaut se forme normalement. C'est le cas idéal.
- Si \(y_{\text{n}} < y_2\), le ressaut ne peut pas se former immédiatement et s'éloigne de la vanne. L'écoulement reste torrentiel sur une certaine distance avant de sauter. C'est un ressaut dénoyé ou éloigné.

Comparaison :
  • Hauteur conjuguée calculée (\(y_2\)) : \(\approx 2.95 \, \text{m}\)
  • Hauteur normale aval (\(y_{\text{n}}\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
\[y_{\text{n}} (3.0 \, \text{m}) > y_2 (2.95 \, \text{m})\]

Puisque la hauteur d'eau disponible à l'aval est légèrement supérieure à la hauteur nécessaire pour former le ressaut, le ressaut sera noyé. Il se formera contre la vanne.

Résultat Question 3 : Comme \(y_{\text{n}} > y_2\), un ressaut noyé se formera juste à la sortie de la vanne.

Quiz Intermédiaire : Si on avait trouvé \(y_{\text{n}} < y_2\), le ressaut serait...

Question 4 : Pente de la Ligne d'Eau (\(S_{\text{f}}\))

Principe :

La pente de la ligne d'énergie (\(S_{\text{f}}\)), aussi appelée pente de frottement, représente la perte d'énergie par unité de longueur due à la friction avec le lit du canal. Pour un écoulement donné, elle peut être calculée avec la formule de Manning. Pour un écoulement uniforme, la ligne d'eau est parallèle au fond du canal, donc \(S_{\text{f}} = S_0\). Ici, le canal est horizontal (\(S_0=0\)), donc il n'y a pas d'écoulement uniforme possible en théorie, mais on peut calculer la pente de frottement qui *serait* associée à la hauteur \(y_{\text{n}}\) si le canal avait la bonne pente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[S_{\text{f}} = \left( \frac{V n}{R_{\text{h}}^{2/3}} \right)^2\]

Pour un canal rectangulaire large, le rayon hydraulique \(R_{\text{h}}\) peut être assimilé à la hauteur d'eau \(y\).

Données spécifiques :
  • \(q = 5 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • \(y_{\text{n}} = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(n = 0.015 \, \text{s}/\text{m}^{1/3}\)
  • \(R_{\text{h}} \approx y_{\text{n}} = 3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[V_{\text{n}} = \frac{5}{3.0} \approx 1.67 \, \text{m/s}\]
\[ \begin{aligned} S_{\text{f}} &= \left( \frac{V_{\text{n}} n}{y_{\text{n}}^{2/3}} \right)^2 \\ &= \left( \frac{1.67 \times 0.015}{(3.0)^{2/3}} \right)^2 \\ &= \left( \frac{0.02505}{2.08} \right)^2 \\ &\approx (0.01204)^2 \\ &\approx 0.000145 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pente de frottement pour la hauteur \(y_{\text{n}}\) est \(S_{\text{f}} \approx 1.45 \times 10^{-4}\).

Question 5 : Longueur du Profil d'Eau (Théorique)

Principe :

Cette question est un peu un piège basé sur le résultat de la question 3. Comme le ressaut est noyé, il se produit immédiatement à la sortie de la vanne. La hauteur passe quasi-instantanément de \(y_1\) à une hauteur supérieure. Il n'y a pas de profil d'eau qui se développe entre \(y_1\) et \(y_2\). La longueur du profil est donc nulle.

Note : Si le ressaut avait été dénoyé (\(y_{\text{n}} < y_2\)), il aurait fallu calculer la longueur du profil d'eau (de type H3 dans ce cas, car canal horizontal) entre la vanne et le début du ressaut en utilisant l'équation dynamique des écoulements graduellement variés.

Résultat Question 5 : La longueur du profil d'eau est \(L = 0\) car le ressaut est noyé et se forme directement à la sortie de la vanne.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Un ressaut hydraulique provoque :

2. Un écoulement est dit "torrentiel" lorsque :

Glossaire

Ressaut Hydraulique
Phénomène de transition brusque d'un régime torrentiel à un régime fluvial, avec dissipation d'énergie.
Écoulement Torrentiel (Supercritique)
Régime d'écoulement à grande vitesse et faible hauteur, où les forces d'inertie dominent. Caractérisé par un Nombre de Froude \(Fr > 1\).
Écoulement Fluvial (Subcritique)
Régime d'écoulement à faible vitesse et grande hauteur, où les forces de gravité dominent. Caractérisé par un Nombre de Froude \(Fr < 1\).
Nombre de Froude (\(Fr\))
Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement dans un canal. \(Fr = V / \sqrt{gy}\).
Hauteurs Conjuguées (\(y_1, y_2\))
Les deux hauteurs d'eau (avant et après le ressaut) pour lesquelles la fonction de force spécifique est identique.
Hauteur Normale (\(y_{\text{n}}\))
La hauteur d'eau constante qui s'établit dans un canal de pente, de rugosité et de géométrie données pour un débit constant (régime uniforme).
Ressaut Noyé
Un ressaut qui se produit lorsque la hauteur d'eau aval est supérieure à la hauteur conjuguée requise (\(y_{\text{n}} > y_2\)). Le ressaut est "poussé" contre l'obstacle amont (ex: une vanne).
Positionnement d'un Ressaut Hydraulique - Exercice d'Application

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