Dissipation d'Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Contexte : L'hydraulique à surface libre et le Ressaut HydrauliquePhénomène de transition brusque d'un écoulement torrentiel (supercritique) à un écoulement fluvial (subcritique), avec une augmentation soudaine de la hauteur d'eau et une forte dissipation d'énergie..

Le ressaut hydraulique est un phénomène couramment observé dans les canaux, les rivières et les ouvrages hydrauliques comme les déversoirs de barrages. Il se manifeste par une surélévation brusque et tourbillonnaire de la surface de l'eau. Cette transition, d'un régime rapide et peu profond (écoulement supercritiqueUn régime d'écoulement rapide où la vitesse de l'eau est supérieure à la vitesse de propagation des ondes (vitesse célérité). Le nombre de Froude est supérieur à 1.) à un régime lent et profond (écoulement subcritiqueUn régime d'écoulement lent où la vitesse de l'eau est inférieure à la vitesse de propagation des ondes. Le nombre de Froude est inférieur à 1.), s'accompagne d'une intense dissipation d'énergie. Cet exercice vise à quantifier cette perte d'énergie, un calcul essentiel pour le dimensionnement des structures de protection en génie civil.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il illustre l'application conjointe de deux grands principes de la mécanique des fluides : la conservation de la quantité de mouvement (pour déterminer la hauteur d'eau après le ressaut) et le bilan énergétique (pour quantifier la dissipation).

Objectifs Pédagogiques

Calculer le régime d'écoulement à l'aide du Nombre de FroudeUn nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il permet de caractériser le régime d'un écoulement à surface libre..
Appliquer l'équation de quantité de mouvement pour déterminer la hauteur conjuguéeLa hauteur d'eau (y₂) après le ressaut, qui correspond à la hauteur d'eau amont (y₁) pour une même fonction de quantité de mouvement..
Calculer l'Énergie SpécifiqueL'énergie totale par unité de poids de fluide, par rapport au fond du canal. Elle est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur dynamique (V²/2g). avant et après le ressaut.
Quantifier la perte d'énergie et la puissance dissipée par le ressaut.

Données de l'étude

Un canal rectangulaire de grande longueur charrie un débit d'eau constant. En une certaine section, les conditions d'écoulement provoquent la formation d'un ressaut hydraulique stabilisé.

Schéma du Ressaut Hydraulique dans un Canal Rectangulaire

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	10	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Largeur du canal	\(b\)	5	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau amont (avant ressaut)	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)
Accélération gravitationnelle	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)

Questions à traiter

Calculer la vitesse d'écoulement amont \(V_1\) et le nombre de Froude amont \(Fr_1\). Confirmer que l'écoulement est bien supercritique.
En utilisant l'équation de Belanger, déterminer la hauteur d'eau aval \(y_2\) (hauteur conjuguée).
Calculer l'énergie spécifique amont \(E_1\) et aval \(E_2\).
Déterminer la perte de charge (dissipation d'énergie) \(\Delta E\) à travers le ressaut.
Calculer la puissance (en kilowatts) dissipée par le ressaut hydraulique.

Les bases de l'Hydraulique du Ressaut

Pour résoudre cet exercice, trois concepts clés de l'hydraulique à surface libre sont nécessaires.

1. Nombre de Froude (\(Fr\))
C'est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement. Pour un canal rectangulaire, il est défini par : \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot y}} \] Où \(V\) est la vitesse moyenne, \(g\) l'accélération de la gravité, et \(y\) la hauteur d'eau.

Si \(Fr < 1\), l'écoulement est fluvial (subcritique).
Si \(Fr = 1\), l'écoulement est critique.
Si \(Fr > 1\), l'écoulement est torrentiel (supercritique).

2. Équation de la Hauteur Conjuguée (Belanger)
Dérivée du principe de conservation de la quantité de mouvement, elle relie les hauteurs d'eau avant (\(y_1\)) et après (\(y_2\)) un ressaut dans un canal rectangulaire : \[ \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot Fr_1^2} - 1 \right) \]

3. Énergie Spécifique (\(E\)) et Perte de Charge (\(\Delta E\))
L'énergie spécifique représente l'énergie par unité de poids de fluide. Pour un canal rectangulaire, elle s'écrit : \[ E = y + \frac{V^2}{2g} \] Le ressaut hydraulique est un phénomène dissipatif, donc l'énergie spécifique diminue. La perte de charge est : \(\Delta E = E_1 - E_2\).

Correction : Dissipation d'Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Calcul de \(V_1\) et \(Fr_1\)

Principe

La première étape consiste à caractériser l'écoulement en amont du ressaut. En utilisant le principe de conservation de la masse (équation de continuité), nous pouvons déterminer la vitesse à partir du débit et de la section d'écoulement. Ensuite, le nombre de Froude nous permettra de classifier le régime d'écoulement.

Mini-Cours

La conservation de la masse pour un fluide incompressible dans un canal se traduit par l'équation de continuité : \(Q = A \cdot V\). Le débit \(Q\) (\(\text{m}^3/\text{s}\)) est constant. Si la section d'écoulement \(A\) (\(\text{m}^2\)) diminue, la vitesse \(V\) (\(\text{m/s}\)) doit augmenter, et vice-versa. Le nombre de Froude est le rapport entre les forces d'inertie (liées à la vitesse) et les forces de gravité (liées à la profondeur). Il est l'indicateur clé du comportement de la surface libre.

Remarque Pédagogique

Abordez toujours ces problèmes en deux temps : d'abord, déterminez les caractéristiques géométriques et cinématiques de base (aire, vitesse), puis calculez les nombres adimensionnels (comme Froude) pour comprendre la physique du phénomène.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul de base, mais les formules utilisées sont universelles en mécanique des fluides et sont décrites dans tous les manuels de référence en hydraulique (comme le Chow, "Open-Channel Hydraulics").

Formule(s)

Formule de la continuité

V = \frac{Q}{A}

Formule du Nombre de Froude

Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}}

Hypothèses

Pour ces calculs, nous posons les hypothèses suivantes :

L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
La vitesse est uniforme sur toute la section mouillée.
Le canal est rectangulaire et prismatique (section constante).
Le fond du canal est horizontal.

Donnée(s)

Les données pertinentes de l'énoncé pour cette question sont :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	10	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Largeur du canal	\(b\)	5	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)
Accélération gravitationnelle	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)

Astuces

Pour éviter les erreurs, vérifiez toujours l'homogénéité de vos unités avant chaque calcul. Ici, toutes les données sont déjà dans le Système International (mètres, secondes), ce qui simplifie les choses.

Schéma (Avant les calculs)

Conditions d'Écoulement Amont

Calcul(s)

Calcul de la section mouillée amont \(A_1\)

\begin{aligned} A_1 &= b \cdot y_1 \\ &= 5 \, \text{m} \times 0.5 \, \text{m} \\ &= 2.5 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse amont \(V_1\)

\begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{A_1} \\ &= \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{2.5 \, \text{m}^2} \\ &= 4.0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul du nombre de Froude amont \(Fr_1\)

\begin{aligned} Fr_1 &= \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}} \\ &= \frac{4.0 \, \text{m/s}}{\sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 0.5 \, \text{m}}} \\ &= \frac{4.0}{\sqrt{4.905}} \\ &\approx 1.806 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Caractérisation du Régime d'Écoulement

Réflexions

Le nombre de Froude calculé (\(Fr_1 \approx 1.806\)) est supérieur à 1. Cela confirme que l'écoulement en amont du ressaut est bien supercritique (torrentiel), ce qui est la condition nécessaire à la formation d'un ressaut hydraulique.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la racine carrée dans le calcul du nombre de Froude. Assurez-vous également que la hauteur \(y\) utilisée est bien la hauteur d'eau et non une autre dimension.

Points à retenir

La vitesse se déduit du débit par la relation de continuité : \(V=Q/A\).
Le nombre de Froude \(Fr = V/\sqrt{gy}\) est l'indicateur du régime d'écoulement.
Un ressaut ne peut se former que si l'écoulement amont est supercritique (\(Fr_1 > 1\)).

Le saviez-vous ?

Le nombre de Froude a été nommé en l'honneur de l'ingénieur anglais William Froude, qui a utilisé des modèles réduits pour étudier la résistance des navires. Ce même principe de similitude est crucial en hydraulique pour étudier les grands ouvrages en laboratoire.

FAQ

Voici une question fréquente :

Résultat Final

La vitesse amont est \(V_1 = 4.0 \, \text{m/s}\) et le nombre de Froude est \(Fr_1 \approx 1.81\). L'écoulement est supercritique.

A vous de jouer

Si le débit était de 15 m³/s avec la même hauteur de 0.5 m, quel serait le nouveau nombre de Froude ?

Question 2 : Calcul de la hauteur conjuguée \(y_2\)

Principe

La hauteur conjuguée \(y_2\) ne peut pas être trouvée avec le bilan d'énergie à cause de la forte dissipation. On utilise donc le bilan de quantité de mouvement, qui est conservée à travers le ressaut. L'équation de Belanger est l'application directe de ce principe pour un canal rectangulaire.

Mini-Cours

La force de pression et le flux de quantité de mouvement sont les deux termes du bilan. En écrivant que la somme des forces (pression hydrostatique) est égale à la variation du flux de quantité de mouvement (\(\rho Q V\)) entre l'amont et l'aval, on obtient une relation directe entre \(y_1\), \(y_2\) et \(Fr_1\), connue sous le nom d'équation de Belanger.

Remarque Pédagogique

Notez bien que l'équation de Belanger n'est valable que pour un canal rectangulaire à fond horizontal. Pour d'autres formes de canal, le calcul est plus complexe et se base sur l'égalité des "fonctions de quantité de mouvement" (ou "force spécifique").

Normes

Comme pour la question 1, il s'agit de formules fondamentales de l'hydraulique, et non de normes prescriptives.

Formule(s)

Équation de Belanger

y_2 = \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot Fr_1^2} - 1 \right)

Hypothèses

En plus des hypothèses précédentes, on suppose que les forces de frottement sur le fond et les parois sont négligeables sur la courte distance du ressaut.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données de la question précédente :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)
Nombre de Froude amont	\(Fr_1\)	1.806	-

Astuces

Le rapport \(y_2/y_1\) est une fonction croissante de \(Fr_1\). Pour un ressaut faible (\(Fr_1\) juste au-dessus de 1), \(y_2\) sera à peine plus grand que \(y_1\). Pour un ressaut fort (\(Fr_1 > 5\)), \(y_2\) sera beaucoup plus grand que \(y_1\). Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur du résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan de Quantité de Mouvement

Calcul(s)

Calcul de la hauteur conjuguée \(y_2\)

\begin{aligned} y_2 &= \frac{0.5}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot (1.806)^2} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{1 + 8 \cdot 3.26} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{1 + 26.08} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{27.08} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( 5.204 - 1 \right) \\ &= 0.25 \times 4.204 \\ &\approx 1.051 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Hauteurs d'Eau

Réflexions

La hauteur a significativement augmenté, passant de 0.5 m à 1.05 m. Simultanément, la vitesse de l'écoulement va devoir diminuer pour respecter la conservation du débit, ce qui est cohérent avec le passage à un régime subcritique.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser \(Fr_1\) (le Froude amont) dans la formule. Utiliser un autre nombre de Froude mènerait à un résultat incorrect. Faites également attention à l'ordre des opérations (d'abord le carré, puis la multiplication, l'addition, la racine, etc.).

Points à retenir

La hauteur après le ressaut, \(y_2\), est appelée hauteur conjuguée de \(y_1\).
Elle se calcule avec l'équation de Belanger, qui découle de la conservation de la quantité de mouvement.

Le saviez-vous ?

Le phénomène de ressaut hydraulique n'est pas exclusif à l'eau. On peut l'observer avec d'autres fluides, et même dans des contextes astrophysiques avec des gaz interstellaires, où il est appelé "choc hydraulique".

FAQ

Voici une question fréquente :

Résultat Final

La hauteur d'eau après le ressaut (hauteur conjuguée) est \(y_2 \approx 1.05 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Pour le cas de la question 1 où \(Fr_1 = 2.71\), quelle serait la nouvelle hauteur conjuguée \(y_2\)?

Question 3 : Calcul des énergies spécifiques \(E_1\) et \(E_2\)

Principe

L'énergie spécifique est la somme de l'énergie de pression (représentée par la hauteur d'eau \(y\)) et de l'énergie cinétique (représentée par la hauteur dynamique \(V^2/2g\)). Nous la calculons pour les sections amont et aval afin de pouvoir quantifier la perte d'énergie.

Mini-Cours

L'énergie spécifique \(E\) est une notion clé en hydraulique à surface libre. Elle représente l'énergie par unité de poids du fluide. Le premier terme, \(y\), est l'énergie potentielle de pression. Le second terme, \(V^2/2g\), est l'énergie cinétique. Contrairement à l'équation de Bernoulli pour les écoulements en charge, l'énergie spécifique n'est pas conservée lors de phénomènes dissipatifs comme le ressaut.

Remarque Pédagogique

Pour calculer l'énergie en aval (\(E_2\)), il faut impérativement recalculer la vitesse en aval (\(V_2\)) en utilisant la hauteur \(y_2\) trouvée précédemment et l'équation de continuité. Ne supposez jamais que la vitesse reste constante !

Normes

Aucune norme spécifique, il s'agit de l'application de la définition de l'énergie spécifique.

Formule(s)

Formule de l'Énergie Spécifique

E = y + \frac{V^2}{2g}

Hypothèses

On conserve les mêmes hypothèses que précédemment. Le coefficient de Coriolis (qui corrige la non-uniformité des vitesses) est pris égal à 1.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs connues et calculées :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit / Largeur	\(Q, b\)	10, 5	\(\text{m}^3/\text{s}\), \(\text{m}\)
Hauteur et Vitesse Amont	\(y_1, V_1\)	0.5, 4.0	\(\text{m}\), \(\text{m/s}\)
Hauteur Aval	\(y_2\)	1.051	\(\text{m}\)

Astuces

On peut exprimer l'énergie spécifique en fonction du débit par unité de largeur \(q = Q/b\): \(E = y + q^2/(2gy^2)\). Cela évite de devoir recalculer la vitesse explicitement et peut parfois simplifier les calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme Énergie-Profondeur (Courbe d'Énergie Spécifique)

Calcul(s)

Calcul de l'énergie spécifique amont \(E_1\)

\begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \\ &= 0.5 + \frac{(4.0)^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 0.5 + \frac{16}{19.62} \\ &= 0.5 + 0.815 \\ &= 1.315 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de la section aval \(A_2\)

\begin{aligned} A_2 &= b \cdot y_2 \\ &= 5 \, \text{m} \times 1.051 \, \text{m} \\ &= 5.255 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse aval \(V_2\)

\begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{A_2} \\ &= \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{5.255 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.903 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul de l'énergie spécifique aval \(E_2\)

\begin{aligned} E_2 &= y_2 + \frac{V_2^2}{2g} \\ &= 1.051 + \frac{(1.903)^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 1.051 + \frac{3.62}{19.62} \\ &= 1.051 + 0.184 \\ &= 1.235 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Niveaux d'Énergie

Réflexions

Comme attendu, \(E_2 < E_1\). Une partie de l'énergie cinétique importante en amont (terme \(V_1^2/2g\) valant 0.815 m) a été convertie en énergie potentielle (la hauteur \(y\) a augmenté) et une autre partie a été dissipée en turbulence.

Points de vigilance

N'oubliez pas le carré de la vitesse (\(V^2\)) dans le terme d'énergie cinétique. Une autre erreur fréquente est de mal calculer la vitesse \(V_2\) en oubliant que la section a changé.

Points à retenir

L'énergie spécifique \(E = y + V^2/2g\) est la somme des énergies potentielle et cinétique.
Le calcul de \(E_2\) nécessite le calcul préalable de \(y_2\) (via Belanger) et de \(V_2\) (via continuité).

Le saviez-vous ?

Les "bassins de dissipation" ou "dissipateurs d'énergie" au pied des barrages sont des ouvrages de génie civil spécifiquement conçus pour forcer la formation d'un ressaut hydraulique et ainsi dissiper l'énergie de l'eau pour éviter d'éroder le lit de la rivière.

FAQ

Voici une question fréquente :

Résultat Final

Les énergies spécifiques sont \(E_1 \approx 1.32 \, \text{m}\) et \(E_2 \approx 1.24 \, \text{m}\).

A vous de jouer

En gardant \(Q=10 \, \text{m}^3/\text{s}\) et \(b=5 \, \text{m}\), si la hauteur amont était \(y_1=0.4 \, \text{m}\), quelle serait la nouvelle énergie spécifique \(E_1\)?

Question 4 : Détermination de la perte de charge \(\Delta E\)

Principe

La perte de charge, ou dissipation d'énergie, est la différence entre l'énergie spécifique en amont et en aval du ressaut. Comme le ressaut est un phénomène très turbulent, une partie de l'énergie mécanique est convertie en chaleur et en son, ce qui se traduit par une diminution de l'énergie spécifique.

Mini-Cours

Cette perte d'énergie est la raison d'être des ressauts dans les ouvrages de protection. Sans cette dissipation, l'énergie cinétique de l'écoulement supercritique pourrait causer des affouillements et des érosions catastrophiques en aval. La perte de charge peut aussi être exprimée par une formule directe (formule de Borda-Carnot généralisée), mais le calcul via la différence des énergies spécifiques est plus didactique.

Remarque Pédagogique

La perte de charge \(\Delta E\) est toujours positive. Si vous trouvez un résultat négatif, cela signifie qu'il y a une erreur dans le calcul de \(y_2\), \(E_1\) ou \(E_2\).

Normes

Pas de normes applicables.

Formule(s)

Formule de la Perte de Charge

\Delta E = E_1 - E_2

Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est requise.

Donnée(s)

On utilise les résultats de la question 3 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Énergie spécifique amont	\(E_1\)	1.315	\(\text{m}\)
Énergie spécifique aval	\(E_2\)	1.235	\(\text{m}\)

Astuces

Une formule directe existe : \(\Delta E = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2}\). Elle permet de vérifier le calcul fait à partir de la différence des énergies. Essayons :

Vérification par la formule directe

\begin{aligned} \Delta E &= \frac{(1.051 - 0.5)^3}{4 \cdot 0.5 \cdot 1.051} \\ &= \frac{0.167}{2.102} \\ &\approx 0.08 \, \text{m} \end{aligned}

Le résultat est cohérent !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la Perte d'Énergie sur la Courbe E-y

Calcul(s)

Calcul de la perte de charge \(\Delta E\)

\begin{aligned} \Delta E &= E_1 - E_2 \\ &= 1.315 \, \text{m} - 1.235 \, \text{m} \\ &= 0.08 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Représentation de la Perte de Charge

Réflexions

La valeur de \(\Delta E\) représente une hauteur de colonne d'eau. C'est l'énergie "perdue" par chaque Newton de fluide traversant le ressaut. Bien que la valeur semble faible ici (8 cm), elle devient très significative lorsqu'on la multiplie par le débit total pour calculer la puissance dissipée.

Points de vigilance

L'erreur principale serait de faire \(E_2 - E_1\). Il faut toujours soustraire la plus petite énergie (aval) de la plus grande (amont) pour obtenir une perte positive.

Points à retenir

Le ressaut est un phénomène dissipatif : \(E_2 < E_1\).
La perte de charge \(\Delta E = E_1 - E_2\) quantifie cette dissipation.

Le saviez-vous ?

L'énergie dissipée dans un ressaut se transforme principalement en chaleur. Cependant, l'augmentation de température de l'eau est infime et quasiment impossible à mesurer en pratique, car le volume d'eau est très grand par rapport à l'énergie dissipée.

FAQ

Voici une question fréquente :

Résultat Final

La perte de charge à travers le ressaut est \(\Delta E = 0.08 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Calculez la perte de charge \(\Delta E\) pour le cas de la question 2 (A vous de jouer) où \(y_1=0.5\,\text{m}\) et \(Fr_1=2.71\).

Question 5 : Calcul de la puissance dissipée

Principe

La puissance est le taux de dissipation d'énergie par unité de temps. On l'obtient en multipliant la perte d'énergie par unité de poids (\(\Delta E\)) par le poids du fluide qui s'écoule par seconde (\(\rho \cdot g \cdot Q\)).

Mini-Cours

La puissance (\(P\), en Watts) est une énergie par unité de temps. La perte de charge \(\Delta E\) est une énergie par unité de poids. Le terme \(\rho \cdot g \cdot Q\) représente le débit poids (poids de fluide par seconde, en N/s). Le produit des deux donne bien une énergie par seconde, c'est-à-dire une puissance. \(P = [\text{N} \cdot \text{m} / \text{N}] \times [\text{N/s}] = [\text{m}] \times [\text{N/s}] = [\text{N} \cdot \text{m} / \text{s}] = [\text{J/s}] = [\text{W}]\).

Remarque Pédagogique

Faites attention aux unités. La formule donne un résultat en Watts. La question demande une réponse en kilowatts, il faudra donc penser à diviser le résultat final par 1000.

Normes

Pas de normes applicables.

Formule(s)

Formule de la Puissance Dissipée

P_{\text{dissipée}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta E

Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire. On utilise la valeur standard de la masse volumique de l'eau.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la question 4 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Gravité	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)
Débit	\(Q\)	10	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Perte de charge	\(\Delta E\)	0.08	\(\text{m}\)

Astuces

Le terme \(\rho \cdot g\) est le poids volumique de l'eau, \(\gamma\). Pour l'eau, \(\gamma \approx 9810\) N/m³. On peut donc calculer plus directement \(P = \gamma \cdot Q \cdot \Delta E\).

Schéma (Avant les calculs)

Concept de Puissance Dissipée

Calcul(s)

Calcul de la puissance en Watts (W)

\begin{aligned} P &= \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta E \\ &= 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 10 \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times 0.08 \, \text{m} \\ &= 7848 \, \text{W} \end{aligned}

Conversion en kilowatts (kW)

\begin{aligned} P &= \frac{7848 \, \text{W}}{1000} \\ &= 7.848 \, \text{kW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Puissance Dissipée

Réflexions

Près de 8 kilowatts d'énergie sont dissipés en permanence par ce ressaut. Dans les grands ouvrages hydrauliques (évacuateurs de crue de barrage), cette puissance peut atteindre plusieurs centaines de mégawatts, soulignant l'importance de ces structures pour protéger le lit de la rivière de l'érosion.

Points de vigilance

Ne pas oublier de convertir en kW si la question le demande. Vérifiez que toutes les unités sont bien dans le SI avant de faire le produit pour obtenir des Watts.

Points à retenir

La puissance dissipée est le produit du débit poids et de la perte de charge.
Elle représente l'énergie perdue par le fluide par seconde.
Cette dissipation est souvent le but recherché lors de la conception d'ouvrages hydrauliques.

Le saviez-vous ?

Le plus grand dissipateur d'énergie artificiel au monde se trouve au barrage des Trois-Gorges en Chine. Lors des crues maximales, l'énergie dissipée par les évacuateurs est de l'ordre de 100 Gigawatts, soit l'équivalent de la puissance de dizaines de centrales nucléaires !

FAQ

Voici une question fréquente :

Résultat Final

La puissance dissipée par le ressaut hydraulique est d'environ \(7.85 \, \text{kW}\).

A vous de jouer

Calculez la puissance dissipée (en kW) pour le cas de la question 4 (A vous de jouer) où \(Q=15 \, \text{m}^3/\text{s}\) et \(\Delta E \approx 0.35 \, \text{m}\).

Outil Interactif : Simulateur de Ressaut

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et la hauteur d'eau amont. Observez en temps réel l'impact sur la hauteur du ressaut (\(y_2\)) et sur l'énergie dissipée (\(\Delta E\)). Le graphique montre l'évolution de la hauteur conjuguée en fonction du nombre de Froude amont.

Paramètres d'Entrée

Débit, Q (m³/s) 10 m³/s

Hauteur Amont, y₁ (m) 0.5 m

Résultats Clés

Nombre de Froude Amont, Fr₁ -

Hauteur Aval, y₂ (m) -

Perte de Charge, ΔE (m) -

Glossaire

Ressaut Hydraulique: Phénomène de transition brusque et localisée d'un écoulement supercritique (rapide, faible hauteur) à un écoulement subcritique (lent, grande hauteur), avec une dissipation d'énergie importante due à la turbulence.
Énergie Spécifique: Pour un canal, c'est l'énergie par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond. Elle est la somme de la hauteur d'eau (énergie potentielle) et de la hauteur cinétique \(V^2/2g\).
Nombre de Froude: Un nombre adimensionnel qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il détermine si l'écoulement est subcritique (\(Fr < 1\)), critique (\(Fr = 1\)) ou supercritique (\(Fr > 1\)).
Hauteur Conjuguée: Les deux hauteurs d'eau, \(y_1\) et \(y_2\), avant et après un ressaut hydraulique, qui ont la même fonction de quantité de mouvement pour un débit donné.

Dissipation d’Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Ressaut Hydraulique dans un Canal Rectangulaire

Questions à traiter

Les bases de l'Hydraulique du Ressaut

Correction : Dissipation d'Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Calcul de \(V_1\) et \(Fr_1\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Conditions d'Écoulement Amont

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Caractérisation du Régime d'Écoulement

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calcul de la hauteur conjuguée \(y_2\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Bilan de Quantité de Mouvement

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Hauteurs d'Eau

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Calcul des énergies spécifiques \(E_1\) et \(E_2\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme Énergie-Profondeur (Courbe d'Énergie Spécifique)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Niveaux d'Énergie

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Détermination de la perte de charge \(\Delta E\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)