ÉTUDE HYDRAULIQUE

Dissipation d’Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Calcul de la Dissipation d'Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Calcul de la Dissipation d'Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Comprendre la Dissipation d'Énergie

Un ressaut hydraulique est une transition brutale d'un écoulement supercritique (rapide, peu profond) à un écoulement subcritique (lent, profond). Cette transition n'est pas douce ; elle est extrêmement turbulente et s'accompagne d'une perte d'énergie mécanique significative, transformée principalement en chaleur. Cette caractéristique, bien que représentant une "perte" du point de vue de l'énergie de l'écoulement, est très utile en ingénierie. On l'utilise pour protéger les structures en aval des barrages et des déversoirs. En forçant la formation d'un ressaut dans un bassin d'amortissement, on "casse" l'énergie de l'eau à grande vitesse, évitant ainsi l'érosion du lit de la rivière.

Données de l'étude

Un ressaut hydraulique se forme dans un canal rectangulaire horizontal à la sortie d'un ouvrage.

Conditions de l'écoulement en amont du ressaut (Section 1) :

  • Débit par unité de largeur (\(q\)) : \(10 \, \text{m}^2/\text{s}\) (débit pour 1m de largeur de canal)
  • Hauteur d'eau amont (\(y_1\)) : \(0.6 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Énergie dans un Ressaut Hydraulique
E1 E2 ΔE (perte) y1 y2

L'énergie spécifique de l'écoulement (\(E\)) diminue à travers le ressaut.

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse et le nombre de Froude (\(Fr_1\)) en amont du ressaut.
  2. Calculer la hauteur conjuguée (\(y_2\)) en aval du ressaut.
  3. Calculer l'énergie spécifique avant (\(E_1\)) et après (\(E_2\)) le ressaut.
  4. Déterminer la perte d'énergie (\(\Delta E\)) et le pourcentage d'énergie dissipée.

Correction : Calcul de la Dissipation d'Énergie dans un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Vitesse et Nombre de Froude Amont (\(v_1, Fr_1\))

Principe :

La vitesse est calculée à partir du débit par unité de largeur (\(q = Q/b\)) et de la hauteur d'eau (\(v = q/y\)). Le nombre de Froude est ensuite calculé pour vérifier que le régime est bien supercritique, condition nécessaire à la formation d'un ressaut.

Calcul :
\[ \begin{aligned} v_1 &= \frac{q}{y_1} = \frac{10 \, \text{m}^2/\text{s}}{0.6 \, \text{m}} = 16.67 \, \text{m/s} \\ Fr_1 &= \frac{v_1}{\sqrt{g y_1}} = \frac{16.67}{\sqrt{9.81 \times 0.6}} = \frac{16.67}{2.426} \approx 6.87 \end{aligned} \]

Puisque \(Fr_1 > 1\), le régime est bien supercritique.

Résultat Question 1 : La vitesse amont est \(v_1 = 16.67 \, \text{m/s}\) et le nombre de Froude est \(Fr_1 \approx 6.87\).

Question 2 : Calcul de la Hauteur Conjuguée (\(y_2\))

Principe :

La hauteur d'eau en aval (\(y_2\)) est calculée à l'aide de l'équation de Bélanger, qui relie les deux hauteurs conjuguées via le nombre de Froude de l'écoulement amont.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_2 = \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_2 &= \frac{0.6}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \cdot (6.87)^2} - 1 \right) \\ &= 0.3 \left( \sqrt{1 + 8 \cdot 47.19} - 1 \right) \\ &= 0.3 \left( \sqrt{1 + 377.5} - 1 \right) \\ &= 0.3 \left( \sqrt{378.5} - 1 \right) \\ &= 0.3 \left( 19.46 - 1 \right) \\ &= 0.3 \times 18.46 \approx 5.54 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La hauteur conjuguée en aval est \(y_2 \approx 5.54 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul des Énergies Spécifiques (\(E_1, E_2\))

Principe :

L'énergie spécifique (\(E\)) est la somme de la hauteur d'eau (énergie potentielle) et de la hauteur de charge cinétique (énergie cinétique). On la calcule avant et après le ressaut pour quantifier la perte.

Calcul :

D'abord, on calcule la vitesse en aval, \(v_2\).

\[ v_2 = \frac{q}{y_2} = \frac{10}{5.54} \approx 1.81 \, \text{m/s} \]

Ensuite, les énergies spécifiques :

\[ \begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{v_1^2}{2g} = 0.6 + \frac{(16.67)^2}{2 \times 9.81} = 0.6 + 14.16 = 14.76 \, \text{m} \\ E_2 &= y_2 + \frac{v_2^2}{2g} = 5.54 + \frac{(1.81)^2}{2 \times 9.81} = 5.54 + 0.17 = 5.71 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les énergies spécifiques sont \(E_1 \approx 14.76 \, \text{m}\) et \(E_2 \approx 5.71 \, \text{m}\).

Question 4 : Perte d'Énergie et Rendement de Dissipation

Principe :

La perte d'énergie est la différence entre l'énergie entrante et l'énergie sortante. Le rendement de dissipation est le rapport de l'énergie perdue sur l'énergie initiale, exprimé en pourcentage.

Calcul :
\[ \Delta E = E_1 - E_2 = 14.76 - 5.71 = 9.05 \, \text{m} \]

Pourcentage d'énergie dissipée :

\[ \text{Dissipation} (\%) = \frac{\Delta E}{E_1} \times 100 = \frac{9.05}{14.76} \times 100 \approx 61.3\% \]
Résultat Question 4 : Le ressaut hydraulique dissipe \(9.05 \, \text{m}\) d'énergie, soit environ \(61\%\) de l'énergie initiale de l'écoulement.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La perte d'énergie dans un ressaut hydraulique est principalement due à :

2. Plus le nombre de Froude en amont (\(Fr_1\)) est élevé :

3. L'équation de Bélanger, qui lie \(y_1\) et \(y_2\), est dérivée de l'application du principe de :

Glossaire

Ressaut Hydraulique
Phénomène localisé et stationnaire où un écoulement passe brusquement de l'état supercritique (rapide) à l'état subcritique (lent), avec une augmentation soudaine de la hauteur d'eau et une forte turbulence.
Énergie Spécifique (\(E\))
Énergie totale de l'écoulement par unité de poids, par rapport au fond du canal. \(E = y + v^2/2g\). Cette énergie diminue de manière significative à travers un ressaut.
Dissipation d'Énergie
Conversion irréversible d'énergie mécanique (potentielle et cinétique) en énergie thermique (chaleur) due à la turbulence et aux frottements internes du fluide. Le ressaut hydraulique est un dissipateur d'énergie très efficace.
Hauteur Conjuguée
La hauteur d'eau en aval (\(y_2\)) d'un ressaut hydraulique est dite "conjuguée" à la hauteur en amont (\(y_1\)). Elles sont liées par l'équation de Bélanger.
Dissipation d'Énergie - Exercice d'Application

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