Analyse d'un Ressaut Hydraulique

Contexte : L'étude des ressauts hydrauliquesPhénomène de transition brusque d'un écoulement torrentiel (rapide) à un écoulement fluvial (lent), caractérisé par une augmentation soudaine de la hauteur d'eau et une forte dissipation d'énergie. en hydraulique à surface libre.

Le ressaut hydraulique est un phénomène fascinant et d'une grande importance pratique, notamment pour la dissipation de l'énergie de l'eau à l'aval des ouvrages hydrauliques comme les barrages ou les déversoirs. Cette transition brusque d'un régime d'écoulement rapide (dit supercritiqueRégime d'écoulement où la vitesse de l'eau est supérieure à la vitesse de propagation des ondes (Nombre de Froude > 1).) à un régime lent (dit subcritiqueRégime d'écoulement où la vitesse de l'eau est inférieure à la vitesse de propagation des ondes (Nombre de Froude < 1).) s'accompagne d'une augmentation de la hauteur d'eau et de fortes turbulences. Cet exercice vous guidera dans l'analyse complète d'un ressaut dans un canal rectangulaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les principes fondamentaux de la mécanique des fluides (continuité, quantité de mouvement, énergie) pour quantifier les caractéristiques d'un ressaut hydraulique, une compétence essentielle pour tout ingénieur hydraulicien.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les paramètres clés d'un écoulement : vitesse et nombre de Froude.
Identifier le régime d'écoulement (supercritique ou subcritique).
Déterminer la hauteur d'eau conjuguée après le ressaut.
Quantifier la perte d'énergie (dissipation) au travers du ressaut.

Données de l'étude

On considère un canal rectangulaire de grande longueur transportant un débit d'eau constant. Un ressaut hydraulique se forme dans une section de ce canal.

Schéma du Ressaut Hydraulique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	20	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Largeur du canal	\(b\)	4.0	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau amont (supercritique)	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'écoulement (\(V_1\)) et le nombre de Froude (\(Fr_1\)) en amont du ressaut.
Qualifier le régime de l'écoulement en amont.
Déterminer la hauteur d'eau conjuguée (\(y_2\)) en aval du ressaut.
Calculer la vitesse (\(V_2\)) et le nombre de Froude (\(Fr_2\)) en aval du ressaut.
Calculer la perte de charge (ou perte d'énergie spécifique, \(\Delta E\)) due au ressaut.

Les bases sur l'Hydraulique à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts fondamentaux sont nécessaires.

1. Équation de Continuité
Pour un fluide incompressible, le débit \(Q\) est constant. Dans un canal rectangulaire de largeur \(b\) et hauteur d'eau \(y\), la section mouillée est \(A = b \cdot y\). La vitesse moyenne \(V\) est donc : \[ V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{b \cdot y} \]

2. Nombre de Froude (\(Fr\))
C'est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il détermine le régime de l'écoulement : \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot y_h}} \] Où \(y_h\) est la hauteur hydraulique, qui pour un canal rectangulaire est simplement la hauteur d'eau \(y\).

Si \(Fr < 1\) : Écoulement fluvial ou subcritique (lent, tranquille).
Si \(Fr = 1\) : Écoulement critique.
Si \(Fr > 1\) : Écoulement torrentiel ou supercritique (rapide, agité).

3. Équation du Ressaut Hydraulique
Dérivée de l'équation de quantité de mouvement, elle relie les hauteurs d'eau avant (\(y_1\)) et après (\(y_2\)) le ressaut, appelées profondeurs conjuguées. Pour un canal rectangulaire : \[ \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right) \]

Correction : Analyse d’un Ressaut Hydraulique

Question 1 : Calcul de la vitesse \(V_1\) et du nombre de Froude \(Fr_1\)

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à caractériser l'état initial de l'écoulement. Le principe de conservation de la masse (ou équation de continuité) nous dit que le débit est le produit de la section d'écoulement par la vitesse. Cela nous permet de calculer la vitesse. Ensuite, le nombre de Froude nous indique la nature de l'écoulement en comparant la vitesse de l'eau à la vitesse de propagation d'une petite vague (la célérité).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le débit \(Q\) représente un volume de fluide traversant une section par unité de temps. Pour un écoulement permanent, ce débit est constant le long du canal. Le nombre de Froude est fondamental car il représente le rapport \(\frac{\text{Forces d'inertie}}{\text{Forces de gravité}}\). Un \(Fr > 1\) signifie que l'inertie de l'eau (sa vitesse) l'emporte sur la gravité, l'écoulement est "rapide" et ne peut être "retenu" par les conditions aval.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Avant tout calcul complexe en hydraulique, commencez toujours par qualifier l'écoulement. Calculez la vitesse et le nombre de Froude. C'est le diagnostic initial qui vous indiquera quelles formules et quels concepts s'appliquent. C'est comme prendre la température d'un patient avant de décider du traitement.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" pour ce calcul fondamental, mais ces principes sont à la base de toutes les réglementations et guides de conception d'ouvrages hydrauliques (comme les recommandations du CETMEF en France ou les manuels de l'U.S. Army Corps of Engineers).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la vitesse

V_1 = \frac{Q}{b \cdot y_1}

Formule du nombre de Froude

Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
La vitesse est uniforme sur la section mouillée (on utilise une vitesse moyenne).
Le canal est prismatique (section constante) et la pente est faible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	20	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Largeur du canal	\(b\)	4.0	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

On travaille souvent avec le débit par mètre linéaire de largeur, \(q = Q/b\). Ici, \(q = 20/4 = 5\) m²/s. Les formules deviennent alors plus simples : \(V_1 = q/y_1\) et \(Fr_1 = (q/y_1) / \sqrt{g y_1}\). C'est très pratique pour les calculs rapides.

Schéma (Avant les calculs)

Section d'écoulement amont

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la surface mouillée \(A_1\)

\begin{aligned} A_1 &= b \cdot y_1 \\ &= 4.0 \, \text{m} \times 0.5 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse \(V_1\)

\begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{A_1} \\ &= \frac{20 \, \text{m}^3/\text{s}}{2.0 \, \text{m}^2} \\ &= 10.0 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul du nombre de Froude \(Fr_1\)

\begin{aligned} Fr_1 &= \frac{V_1}{\sqrt{g \cdot y_1}} \\ &= \frac{10.0 \, \text{m/s}}{\sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.5 \, \text{m}}} \\ &= \frac{10.0}{\sqrt{4.905}} \\ &= \frac{10.0}{2.215} \\ &\approx 4.51 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État de l'écoulement amont

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 10 m/s (36 km/h) est très élevée pour un écoulement en canal. Le nombre de Froude de 4.51, très supérieur à 1, confirme un régime fortement supercritique. C'est typique d'un écoulement rapide à la sortie d'une vanne ou au pied d'un déversoir, juste avant qu'il ne rencontre une masse d'eau plus lente qui va le "forcer" à former un ressaut.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier la racine carrée dans la formule du nombre de Froude, ou de mal gérer les unités. Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes (mètres, secondes) pour tous les paramètres.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Retenez les deux étapes clés : 1. Continuité pour la vitesse (\(V=Q/A\)) et 2. Froude pour le régime (\(Fr = V/\sqrt{gy}\)). C'est la base de toute analyse d'écoulement à surface libre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nombre de Froude a été nommé en l'honneur de William Froude, un ingénieur anglais du XIXe siècle. Il l'a développé non pas pour les rivières, mais pour étudier la résistance des coques de navires et comprendre le comportement des vagues qu'ils génèrent !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse en amont est \(V_1 = 10.0 \, \text{m/s}\) et le nombre de Froude est \(Fr_1 \approx 4.51\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le débit était de 25 m³/s (avec les mêmes \(b\) et \(y_1\)), quel serait le nouveau nombre de Froude \(Fr_1\) ?

Question 2 : Qualification du régime d'écoulement amont

Principe

Le nombre de Froude calculé à la question précédente est l'indicateur direct du régime d'écoulement. Il suffit de comparer sa valeur à 1 pour conclure.

Réflexions

Nous avons calculé \(Fr_1 \approx 4.51\). Comme la valeur du nombre de Froude est nettement supérieure à 1, l'écoulement est dit torrentiel ou supercritique. Cela signifie que les perturbations ne peuvent pas se propager vers l'amont, et que l'écoulement est rapide et de faible hauteur. C'est la condition nécessaire pour qu'un ressaut hydraulique puisse se former.

Points à retenir

La classification des écoulements est primordiale :

\(Fr > 1 \Rightarrow\) Supercritique (Torrentiel)
\(Fr < 1 \Rightarrow\) Subcritique (Fluvial)
Un ressaut hydraulique est une transition de Supercritique \(\rightarrow\) Subcritique.

Question 3 : Détermination de la hauteur conjuguée \(y_2\)

Principe (le concept physique)

Au travers du ressaut, l'énergie n'est pas conservée, mais la quantité de mouvement l'est (en négligeant les forces de frottement sur le fond sur la courte distance du ressaut). Ce principe mène à la conservation de la "fonction de force spécifique". L'équation qui en résulte lie directement la hauteur amont (\(y_1\)) à la hauteur aval (\(y_2\)) via le nombre de Froude amont (\(Fr_1\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La force spécifique, \(F_s\), est la somme de la poussée hydrostatique et du flux de quantité de mouvement : \(F_s = \frac{P}{\rho g} + \frac{Q^2}{gA}\). Pour un canal rectangulaire, cela s'écrit \(F_s = \frac{by^2}{2} + \frac{q^2 y b}{g y}\). En posant que \(F_{s1} = F_{s2}\), on peut isoler la relation entre \(y_1\) et \(y_2\). La formule de la question est le résultat de cette démonstration.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez pas conservation de l'énergie (principe de Bernoulli) et conservation de la quantité de mouvement. Le ressaut est le cas d'école où Bernoulli ne s'applique PAS à cause des fortes dissipations. C'est l'équation de la quantité de mouvement qui débloque la situation.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Bélanger (1828) est la base de tous les calculs de ressaut en canal rectangulaire. Elle est universellement utilisée dans tous les guides de conception de bassins de dissipation d'énergie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la hauteur conjuguée

y_2 = \frac{y_1}{2} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le canal est rectangulaire et horizontal.
Les forces de frottement sur le fond et les parois sont négligeables sur la longueur du ressaut.
La répartition des vitesses est uniforme avant et après le ressaut.
La pression est hydrostatique aux sections amont et aval.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)
Nombre de Froude amont	\(Fr_1\)	4.51	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de calculer, sachez que \(y_2\) sera toujours supérieur à \(y_1\). Si votre calcul donne une valeur plus petite, vous avez fait une erreur. De plus, pour des grands \(Fr_1\), on peut approximer la formule par \(y_2 \approx y_1 \frac{\sqrt{8}Fr_1}{2} = y_1 \sqrt{2} Fr_1\). C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du Ressaut Hydraulique

Calcul(s) (l'application numérique)

Application numérique

\begin{aligned} y_2 &= \frac{0.5}{2} \left( \sqrt{1 + 8 \times (4.51)^2} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{1 + 8 \times 20.34} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{1 + 162.72} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( \sqrt{163.72} - 1 \right) \\ &= 0.25 \left( 12.79 - 1 \right) \\ &= 0.25 \times 11.79 \\ &\approx 2.95 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma du Ressaut avec Hauteur Conjuguée

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La hauteur d'eau a été multipliée par presque 6 (\(2.95 / 0.5 = 5.9\)). C'est une augmentation très significative et visible à l'œil nu, qui s'accompagne d'une forte réduction de la vitesse, comme nous le verrons à la question suivante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention ! C'est bien \(Fr_1\) (le Froude de l'écoulement supercritique) qui doit être utilisé dans la formule. Utiliser un autre Froude mènerait à un résultat incorrect. Assurez-vous aussi de ne pas faire d'erreur de signe sous la racine.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La relation entre les profondeurs conjuguées est la clé du dimensionnement. Retenez que pour qu'un ressaut se forme, il faut que l'écoulement amont soit supercritique (\(Fr_1>1\)) et que la hauteur aval \(y_2\) soit imposée par les conditions du canal (par exemple un obstacle, un changement de pente...).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le ressaut hydraulique n'est pas qu'un phénomène de grande échelle. Vous pouvez en créer un très facilement dans votre évier ! Faites couler un jet d'eau puissant sur une surface plate : vous verrez un cercle d'eau très fin et rapide (supercritique) entouré d'un "saut" brusque où l'eau devient plus haute et plus lente (subcritique). C'est un mini-ressaut hydraulique circulaire.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La hauteur d'eau en aval du ressaut est \(y_2 \approx 2.95 \, \text{m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le nombre de Froude amont était \(Fr_1 = 3.0\) (avec \(y_1=0.5\) m), quelle serait la hauteur \(y_2\) ?

Question 4 : Calcul de la vitesse \(V_2\) et du nombre de Froude \(Fr_2\)

Principe (le concept physique)

Tout comme pour la section amont, nous utilisons le principe de conservation de la masse (continuité) pour déterminer la vitesse \(V_2\) à partir du débit constant et de la nouvelle hauteur \(y_2\). Le calcul du Froude \(Fr_2\) sert ensuite de vérification : il doit être inférieur à 1 pour confirmer que la transition vers un régime subcritique a bien eu lieu.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'augmentation de la section d'écoulement (\(A_2 = b \cdot y_2 > A_1\)) impose mathématiquement, pour un même débit \(Q\), une diminution de la vitesse (\(V_2 = Q/A_2 < V_1\)). Cette réduction de la vitesse (énergie cinétique) au profit d'une augmentation de la hauteur (énergie potentielle) est l'essence même du ressaut.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez cette étape comme une étape de validation. Si vous calculez \(Fr_2\) et que vous trouvez une valeur supérieure à 1, c'est un signal d'alarme : une erreur s'est glissée dans vos calculs précédents (probablement sur \(y_2\)). La physique du phénomène impose \(Fr_1 > 1\) et \(Fr_2 < 1\).

Normes (la référence réglementaire)

Comme pour la question 1, ces calculs sont des applications directes de principes fondamentaux utilisés dans toutes les méthodologies de conception hydraulique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la vitesse

V_2 = \frac{Q}{b \cdot y_2}

Formule du nombre de Froude

Fr_2 = \frac{V_2}{\sqrt{g \cdot y_2}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les mêmes hypothèses qu'à la question 1 s'appliquent ici (écoulement permanent, vitesse uniforme sur la section...).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	20	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Largeur du canal	\(b\)	4.0	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau aval	\(y_2\)	2.95	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Il existe une relation directe entre \(Fr_1\) et \(Fr_2\) pour un ressaut : \(Fr_2^2 = \frac{1}{8} \left( \sqrt{1 + 8 Fr_1^2} - 1 \right)^3 / \left( \frac{1}{2} (\sqrt{1+8Fr_1^2}-1) \right)\). C'est complexe, il est bien plus simple et intuitif de recalculer \(V_2\) et \(Fr_2\) comme nous le faisons ici.

Schéma (Avant les calculs)

Section d'écoulement aval

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la vitesse \(V_2\)

\begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{b \cdot y_2} \\ &= \frac{20 \, \text{m}^3/\text{s}}{4.0 \, \text{m} \times 2.95 \, \text{m}} \\ &= \frac{20}{11.8} \\ &\approx 1.69 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul du nombre de Froude \(Fr_2\)

\begin{aligned} Fr_2 &= \frac{V_2}{\sqrt{g \cdot y_2}} \\ &= \frac{1.69 \, \text{m/s}}{\sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2.95 \, \text{m}}} \\ &= \frac{1.69}{\sqrt{28.94}} \\ &= \frac{1.69}{5.38} \\ &\approx 0.31 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

État de l'écoulement aval

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, \(Fr_2 \approx 0.31\), ce qui est bien inférieur à 1. Le régime est donc devenu fluvial ou subcritique. La vitesse a chuté de 10 m/s à 1.69 m/s. Le ressaut a correctement et efficacement assuré la transition entre les deux régimes en convertissant l'énergie cinétique en énergie potentielle et en chaleur (dissipation).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique ici est d'utiliser \(y_1\) au lieu de \(y_2\) dans le calcul du Froude aval, ou de mal reporter la valeur de \(y_2\) calculée précédemment. Soyez méthodique et utilisez les bonnes variables pour la bonne section.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un ressaut hydraulique est un "ralentisseur". Il fait passer un écoulement rapide et peu profond à un écoulement lent et profond. Cette question est la quantification de cet effet : \(V_1 \gg V_2\) et \(y_1 \ll y_2\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poissons migrateurs comme les saumons ont beaucoup de mal à franchir les zones à écoulement supercritique. La création d'un régime subcritique plus calme après un ressaut (dans un bassin ou une passe à poissons bien conçue) est souvent essentielle pour leur permettre de remonter les cours d'eau.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse en aval est \(V_2 \approx 1.69 \, \text{m/s}\) et le nombre de Froude est \(Fr_2 \approx 0.31\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la hauteur \(y_2 = 1.89\) m que vous avez calculée à la question 3 ("A vous de jouer"), et un débit \(Q=4 \times 0.5 \times \sqrt{9.81 \times 0.5} \times 3.0 \approx 13.28\) m³/s, quelle serait la nouvelle vitesse \(V_2\)?

Question 5 : Calcul de la perte de charge \(\Delta E\)

Principe (le concept physique)

Le ressaut est un phénomène de turbulence intense où l'énergie mécanique de l'écoulement se transforme en chaleur et en son, elle n'est donc pas conservée. La perte de charge, \(\Delta E\), représente cette énergie "perdue" par l'écoulement principal. Elle est calculée en faisant la différence entre l'énergie spécifique de l'écoulement avant le ressaut (\(E_1\)) et après (\(E_2\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie spécifique \(E = y + V^2/2g\) représente la hauteur d'énergie par rapport au fond du canal. Sur un graphique \(E(y)\) pour un débit donné, on observe deux branches : une pour le régime subcritique et une pour le supercritique. Un ressaut est un "saut" instantané de la branche supercritique (point (\(y_1, E_1\))) à la branche subcritique (point (\(y_2, E_2\))), avec \(E_1 > E_2\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la perte d'énergie comme le "coût" de la transition. Pour passer d'un état rapide et désordonné à un état lent et calme, l'écoulement doit "payer" en dissipant de l'énergie. Cette dissipation est l'objectif principal recherché dans les bassins d'amortissement en aval des barrages.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la dissipation d'énergie est un critère de performance clé dans le dimensionnement des ouvrages de dissipation. Les normes imposent souvent un certain pourcentage d'énergie à dissiper pour garantir la sécurité de l'ouvrage et la protection contre l'érosion en aval.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de l'Énergie Spécifique

E = y + \frac{V^2}{2g}

Formule de la perte de charge

\Delta E = E_1 - E_2

Formule directe de la perte de charge

\Delta E = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les mêmes hypothèses que précédemment sont nécessaires pour que ces formules soient valides.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	0.5	\(\text{m}\)
Vitesse amont	\(V_1\)	10.0	\(\text{m/s}\)
Hauteur d'eau aval	\(y_2\)	2.95	\(\text{m}\)
Vitesse aval	\(V_2\)	1.69	\(\text{m/s}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

La formule directe \(\Delta E = \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2}\) est non seulement plus rapide, mais aussi plus précise car elle ne dépend pas des valeurs calculées des vitesses, qui peuvent contenir des erreurs d'arrondi. Privilégiez-la si vous n'avez besoin que de la perte de charge.

Schéma (Avant les calculs)

Composition de l'Énergie Spécifique

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul avec la formule directe (recommandé)

\begin{aligned} \Delta E &= \frac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2} \\ &= \frac{(2.95 - 0.5)^3}{4 \times 0.5 \times 2.95} \\ &= \frac{(2.45)^3}{5.9} \\ &= \frac{14.71}{5.9} \\ &\approx 2.49 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de l'énergie amont \(E_1\) (pour vérification)

\begin{aligned} E_1 &= y_1 + \frac{V_1^2}{2g} \\ &= 0.5 + \frac{10.0^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.5 + 5.10 \\ &= 5.60 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de l'énergie aval \(E_2\) (pour vérification)

\begin{aligned} E_2 &= y_2 + \frac{V_2^2}{2g} \\ &= 2.95 + \frac{1.69^2}{2 \times 9.81} \\ &= 2.95 + 0.15 \\ &= 3.10 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul final de la perte \(\Delta E\) (pour vérification)

\begin{aligned} \Delta E &= E_1 - E_2 \\ &= 5.60 - 3.10 \\ &= 2.50 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe d'Énergie Spécifique illustrant la perte

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte d'énergie est de 2.50 m. Cela signifie que l'équivalent de 2.50 mètres de hauteur de chute a été transformé en chaleur et en son. Cela représente une dissipation de \(\frac{2.50}{5.60} \approx 45\%\) de l'énergie initiale. C'est cette "inefficacité" qui est recherchée pour protéger les structures et le lit des cours d'eau de l'érosion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une perte de charge \(\Delta E\) doit TOUJOURS être positive. Si vous trouvez un résultat négatif, vous avez inversé \(E_1\) et \(E_2\). L'énergie après le ressaut est toujours inférieure à l'énergie avant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le ressaut hydraulique est l'un des rares phénomènes en ingénierie où l'on cherche activement à maximiser une "perte". La formule de la perte d'énergie est cruciale pour vérifier si un bassin de dissipation est correctement dimensionné pour "casser" l'énergie de l'eau.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les grands barrages, l'énergie dissipée dans le ressaut peut être colossale, équivalente à la puissance de plusieurs moteurs d'avion. La chaleur générée peut même augmenter localement la température de l'eau de quelques dixièmes de degrés.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La perte de charge à travers le ressaut est \(\Delta E \approx 2.50 \, \text{m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez le pourcentage d'énergie dissipée par rapport à l'énergie initiale (\(\Delta E / E_1 \times 100\)).

Outil Interactif : Simulateur de Ressaut

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit par mètre linéaire (\(q\)) et la hauteur d'eau initiale (\(y_1\)). Observez l'impact sur les caractéristiques du ressaut et la dissipation d'énergie.

Paramètres d'Entrée

Débit Linéaire, q (m²/s) 5.0 m²/s

Hauteur Amont, y₁ (m) 0.5 m

Résultats Clés

Froude Amont, Fr₁ -

Hauteur Aval, y₂ (m) -

Perte d'énergie, ΔE (m) -

Ressaut Hydraulique: Phénomène de transition brusque et localisée d'un écoulement supercritique (rapide) à un écoulement subcritique (lent), avec une augmentation de la hauteur d'eau et une forte dissipation d'énergie.
Nombre de Froude (\(Fr\)): Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'un écoulement à surface libre. C'est le rapport des forces d'inertie sur les forces de gravité.
Profondeurs Conjuguées: Les deux hauteurs d'eau, \(y_1\) (avant) et \(y_2\) (après), qui peuvent exister de part et d'autre d'un ressaut hydraulique pour la même fonction de force spécifique.
Écoulement Supercritique: Régime d'écoulement où \(Fr > 1\). L'écoulement est rapide, de faible hauteur, et les ondes de surface ne peuvent remonter le courant.
Écoulement Subcritique: Régime d'écoulement où \(Fr < 1\). L'écoulement est lent, de grande hauteur, et les ondes de surface peuvent se propager dans toutes les directions.
Énergie Spécifique (\(E\)): L'énergie de l'écoulement par unité de poids, par rapport au fond du canal. Elle est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur dynamique : \(E = y + V^2 / (2g)\).