Détermination du Régime d'Écoulement

Contexte : L'étude des écoulements à surface libreÉcoulements de liquides dans des canaux ouverts à la pression atmosphérique, comme les rivières, les canaux ou les égouts..

En ingénierie hydraulique, la caractérisation du régime d'écoulement est une étape fondamentale pour la conception et l'analyse des canaux, rivières et autres ouvrages. Savoir si un écoulement est lent et calme (fluvial) ou rapide et agité (torrentiel) conditionne la stabilité des berges, le transport des sédiments et le dimensionnement des structures. Cet exercice se concentre sur un canal rectangulaire simple pour appliquer les concepts clés de cette détermination.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les hauteurs d'eau caractéristiques (normale et critique) et à utiliser le nombre de Froude pour identifier sans ambiguïté un régime d'écoulement.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la hauteur normale en régime uniforme via la formule de Manning-Strickler.
Calculer la hauteur critique pour un débit donné.
Comparer la hauteur normale et la hauteur critique pour déterminer le régime d'écoulement.
Calculer le nombre de Froude pour valider la nature de l'écoulement.

Données de l'étude

On considère un canal de section rectangulaire en béton, conçu pour évacuer un débit constant.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Forme du canal	Rectangulaire
Matériau	Béton ordinaire
Régime supposé	Permanent et uniforme

Section transversale du canal

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	10	m³/s
Largeur du canal	\(L\)	4	m
Pente du fond	\(I\)	0.001	m/m
Coefficient de Manning	\(n\)	0.014	s.m⁻¹/³

Questions à traiter

Déterminer la hauteur normale de l'écoulement, \(h_n\).
Calculer la hauteur critique, \(h_c\).
Comparer \(h_n\) et \(h_c\) et conclure sur le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel).
Calculer la vitesse d'écoulement \(V\) en régime uniforme.
Calculer le nombre de Froude \(Fr\) et confirmer la conclusion précédente.

Les bases sur l'Hydraulique à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux sont nécessaires : l'écoulement uniforme et l'écoulement critique.

1. Écoulement uniforme et Formule de Manning-Strickler
Un écoulement est dit uniforme lorsque la hauteur d'eau, et donc la vitesse, restent constantes le long du canal. Cela se produit lorsque les forces motrices (gravité) sont exactement compensées par les forces de frottement. La hauteur d'eau correspondante est appelée "hauteur normale". On la calcule avec la formule de Manning-Strickler : \[ Q = K \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2} = \frac{1}{n} \cdot A \cdot \left(\frac{A}{P}\right)^{2/3} \cdot \sqrt{I} \] Où \(A\) est la surface mouillée, \(P\) le périmètre mouillé, \(R_h\) le rayon hydraulique, \(I\) la pente et \(n\) le coefficient de rugosité de Manning.

2. Écoulement critique et Nombre de Froude
L'état critique est un régime de transition. La hauteur correspondante, "hauteur critique" \(h_c\), est celle pour laquelle l'énergie spécifique de l'écoulement est minimale pour un débit donné. Le critère pour identifier le régime est le nombre de Froude, un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité : \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot H_m}} \quad \text{avec } H_m = \frac{A}{B} \] Où \(V\) est la vitesse, \(g\) l'accélération de la pesanteur, et \(H_m\) la hauteur hydraulique (avec \(B\) la largeur au miroir). Pour un canal rectangulaire, \(H_m = h\).

Si \(Fr < 1\) (ou \(h > h_c\)): Régime fluvial (subcritique)
Si \(Fr = 1\) (ou \(h = h_c\)): Régime critique
Si \(Fr > 1\) (ou \(h < h_c\)): Régime torrentiel (supercritique)

Correction : Détermination du Régime d’Écoulement

Question 1 : Déterminer la hauteur normale de l'écoulement, \(h_n\)

Principe (le concept physique)

La hauteur normale (\(h_n\)) est la hauteur d'équilibre atteinte en écoulement uniforme, lorsque la pente du canal fournit juste assez d'énergie pour vaincre les frottements dus à la rugosité des parois. C'est un état d'équilibre entre la gravité qui tire l'eau vers l'aval et les frottements qui la freinent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Manning-Strickler est une relation empirique (basée sur l'expérience) qui lie le débit \(Q\) aux caractéristiques géométriques et hydrauliques du canal. Elle est fondamentale pour l'étude des écoulements en régime permanent et uniforme, qui est l'hypothèse de base pour le dimensionnement de la plupart des canaux artificiels.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'équation de Manning n'est pas directement soluble pour \(h_n\). Ne perdez pas de temps à essayer de l'isoler algébriquement. L'approche par itérations successives (tâtonnements) est la méthode standard et la plus efficace. On choisit une valeur de \(h_n\), on calcule le membre de droite de l'équation, et on ajuste \(h_n\) jusqu'à trouver l'équilibre.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Manning-Strickler n'est pas une "norme" au sens réglementaire, mais une formule universellement acceptée et utilisée dans tous les guides techniques et normes de conception d'ouvrages hydrauliques à surface libre à travers le monde (par exemple, les fascicules du CEREMA en France).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale de Manning-Strickler :

Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot \sqrt{I}

Avec les termes géométriques pour une section rectangulaire :

A=L \cdot h_n \quad \text{et} \quad R_h=\frac{L \cdot h_n}{L + 2h_n}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps) et uniforme (la hauteur d'eau est constante le long du canal), et que la pente est faible.

Régime permanent établi.
Canal prismatique (section constante).
Pente du fond faible (\(< 5\%\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Largeur	\(L\)	4	m
Pente	\(I\)	0.001	m/m
Coefficient de Manning	\(n\)	0.014	s.m⁻¹/³

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour accélérer la convergence, on peut réarranger l'équation sous la forme \(A \cdot R_h^{2/3} = \frac{Q \cdot n}{\sqrt{I}}\). Calculez d'abord le terme de droite qui est constant. Ensuite, en testant une valeur pour \(h_n\), si le résultat est trop petit, cela signifie que votre \(h_n\) est trop faible, et inversement. Cela vous guidera pour le choix suivant.

Schéma (Avant les calculs)

Section mouillée pour la hauteur normale

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du terme constant de l'équation de Manning

\begin{aligned} \frac{Q \cdot n}{\sqrt{I}} &= \frac{10 \times 0.014}{\sqrt{0.001}} \\ &\approx \frac{0.14}{0.0316} \\ &\approx 4.427 \end{aligned}

Étape 2 : Résolution par tâtonnements

Nous devons trouver \(h_n\) tel que \( (4h_n) \cdot \left(\frac{4h_n}{4+2h_n}\right)^{2/3} = 4.427\). Testons quelques valeurs :

Test 1: \(h = 1.0 \text{ m}\)

\begin{aligned} (4 \times 1.0) \cdot \left(\frac{4 \times 1.0}{4 + 2 \times 1.0}\right)^{2/3} &= 4 \cdot \left(\frac{4}{6}\right)^{2/3} \\ &\approx 4 \times 0.76 \\ &= 3.04 \quad (\text{trop petit}) \end{aligned}

Test 2: \(h = 1.5 \text{ m}\)

\begin{aligned} (4 \times 1.5) \cdot \left(\frac{4 \times 1.5}{4 + 2 \times 1.5}\right)^{2/3} &= 6 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{2/3} \\ &\approx 6 \times 0.90 \\ &= 5.40 \quad (\text{trop grand}) \end{aligned}

Test 3: \(h = 1.3 \text{ m}\)

\begin{aligned} (4 \times 1.3) \cdot \left(\frac{4 \times 1.3}{4 + 2 \times 1.3}\right)^{2/3} &= 5.2 \cdot \left(\frac{5.2}{6.6}\right)^{2/3} \\ &\approx 5.2 \times 0.85 \\ &= 4.42 \quad (\text{très proche}) \end{aligned}

Une résolution plus précise (par exemple avec un solveur) donne \(h_n \approx 1,28\) m.

Schéma (Après les calculs)

Profil en long en régime uniforme

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(h_n \approx 1,28\) m représente la hauteur d'eau que le canal adoptera naturellement s'il est suffisamment long pour que l'écoulement s'établisse. C'est la hauteur de conception fondamentale pour ce débit et cette pente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale difficulté est la résolution de l'équation non-linéaire. Une erreur de calcul dans l'évaluation de la fonction \(A \cdot R_h^{2/3}\) est fréquente. N'oubliez pas le \(2/3\) en exposant et assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes (mètres, secondes).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour trouver la hauteur normale, il faut savoir poser l'équation de Manning-Strickler pour la section donnée et la résoudre par une méthode itérative. C'est une compétence clé en hydraulique à surface libre.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur irlandais Robert Manning a proposé sa formule en 1891. Il l'a initialement présentée avec un exposant de 0.666... mais a été convaincu de l'arrondir à \(2/3\) pour une plus grande simplicité, ce qui a largement contribué à son adoption universelle !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La hauteur normale de l'écoulement est \(h_n \approx 1,28 \text{ m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la hauteur normale si le coefficient de Manning était de 0.016 (béton plus rugueux) ?

Question 2 : Calculer la hauteur critique, \(h_c\)

Principe (le concept physique)

La hauteur critique \(h_c\) représente un état de transition unique pour un débit donné dans une section donnée. C'est la hauteur pour laquelle l'énergie spécifique de l'écoulement est à son minimum absolu. Elle ne dépend ni de la pente du canal, ni de sa rugosité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie spécifique \(E_s = h + \frac{V^2}{2g}\) représente l'énergie par unité de poids du fluide par rapport au fond du canal. Pour un débit Q constant, la courbe \(E_s(h)\) a une forme en "U" couché. Le point le plus à gauche de cette courbe, correspondant au minimum d'énergie, définit l'état critique (\(h_c, V_c\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La hauteur critique est une valeur de référence théorique fondamentale. Pensez-y comme à un "mur du son" pour l'écoulement. Passer de fluvial à torrentiel (ou inversement) implique souvent de passer par cette hauteur critique, ce qui peut générer des phénomènes hydrauliques complexes comme le ressaut.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la hauteur critique n'est pas une norme, mais un résultat direct des principes fondamentaux de la mécanique des fluides (conservation de l'énergie). Elle est donc universelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire, la hauteur critique est donnée par la formule explicite :

h_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} = \sqrt[3]{\frac{(Q/L)^2}{g}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La formule est valide pour un canal rectangulaire et suppose une distribution de pression hydrostatique (lignes de courant quasi-horizontales).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Largeur	\(L\)	4	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Il est souvent pratique de calculer d'abord le "débit par unité de largeur", \(q = Q/L\). La formule devient alors encore plus simple : \(h_c = \sqrt[3]{q^2/g}\). Cela permet de comparer plus facilement différents canaux.

Schéma (Avant les calculs)

Courbe d'Énergie Spécifique

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur critique

\begin{aligned} h_c &= \sqrt[3]{\frac{(Q/L)^2}{g}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{(10/4)^2}{9.81}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{2.5^2}{9.81}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{6.25}{9.81}} \\ &= \sqrt[3]{0.637} \\ &\approx 0,86 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courbe d'Énergie Spécifique avec valeur

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une hauteur critique de 0,86 m signifie que si l'eau dans ce canal s'écoulait à exactement cette profondeur, le régime serait critique. C'est une valeur charnière qui nous servira de référence pour analyser l'état réel de l'écoulement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier le carré sur le débit par largeur (\(q^2\)). C'est une source d'erreur classique. Vérifiez aussi la racine cubique sur votre calculatrice.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La hauteur critique pour un canal rectangulaire est facile à calculer. Retenez la formule \(h_c = \sqrt[3]{(Q/L)^2/g}\). C'est une valeur intrinsèque à la section et au débit, indépendante de la pente et de la rugosité.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'énergie spécifique a été introduit par l'ingénieur russe Boris Bakhmeteff dans son livre "Hydraulics of Open Channels" en 1932. Son diagramme de l'énergie spécifique est aujourd'hui un outil de base enseigné à tous les hydrauliciens.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La hauteur critique de l'écoulement est \(h_c \approx 0,86 \text{ m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la hauteur critique si le débit était de 20 m³/s ?

Question 3 : Comparer \(h_n\) et \(h_c\) et conclure sur le régime d'écoulement

Principe (le concept physique)

La comparaison directe entre la hauteur d'eau réelle (ici, la hauteur normale \(h_n\)) et la hauteur critique \(h_c\) permet de déterminer le régime d'écoulement. La règle est simple : si l'eau a plus de hauteur que le seuil critique, l'écoulement est lent et calme (fluvial); si elle a moins de hauteur, il est rapide et agité (torrentiel).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette comparaison est équivalente à positionner le point de fonctionnement de l'écoulement sur la courbe d'énergie spécifique. Si le point (\(h_n, E_s(h_n)\)) est sur la branche supérieure de la courbe (\(h_n > h_c\)), le régime est fluvial. S'il est sur la branche inférieure (\(h_n < h_c\)), le régime est torrentiel.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour vous en souvenir : "Fluvial" comme un "fleuve", large et tranquille, donc une grande hauteur d'eau (\(h_n > h_c\)). "Torrentiel" comme un "torrent" de montagne, rapide et peu profond, donc une faible hauteur d'eau (\(h_n < h_c\)).

Normes (la référence réglementaire)

Cette classification (fluvial/critique/torrentiel) est la terminologie standard utilisée dans toute la littérature et les pratiques de l'ingénierie hydraulique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il n'y a pas de formule de calcul, mais une règle de comparaison :

Si \(h_n > h_c \Rightarrow \text{Régime Fluvial}\)
Si \(h_n < h_c \Rightarrow \text{Régime Torrentiel}\)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le régime uniforme est bien atteint, et donc que la hauteur d'eau dans le canal est effectivement \(h_n\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur normale	\(h_n\)	1.28	m
Hauteur critique	\(h_c\)	0.86	m

Astuces (Pour aller plus vite)

La comparaison des hauteurs est la méthode la plus intuitive. Une autre façon est de comparer la pente du canal (\(I\)) à la pente critique (\(I_c\)). Si \(I < I_c\), le régime est fluvial. Si \(I > I_c\), il est torrentiel. C'est une approche plus avancée mais très puissante.

Schéma (Avant les calculs)

Positionnement de \(h_n\) vs \(h_c\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Comparaison des hauteurs

1,28 \text{ m} > 0,86 \text{ m} \Rightarrow h_n > h_c

Schéma (Après les calculs)

Positionnement de \(h_n\) vs \(h_c\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Puisque la hauteur normale est supérieure à la hauteur critique, l'écoulement possède une énergie supérieure à l'énergie minimale mais avec une vitesse faible. Les ondes peuvent se propager vers l'amont (si on jette un caillou, les vaguelettes remonteront le courant). C'est caractéristique d'un régime fluvial.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus simple est d'inverser la conclusion. Répétez-vous : "grande hauteur = faible vitesse = fluvial". Ne vous fiez pas uniquement à la pente : un canal à forte pente peut avoir un régime fluvial si le débit est très faible, et inversement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La comparaison \(h_n\) vs \(h_c\) est le premier outil, le plus simple et le plus visuel, pour déterminer le régime d'un écoulement uniforme. Il faut maîtriser cette comparaison.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le passage brutal d'un régime torrentiel à un régime fluvial est un phénomène spectaculaire appelé "ressaut hydraulique". Il se manifeste par une vague stationnaire très turbulente qui dissipe une grande quantité d'énergie. On le crée volontairement à la base des barrages pour protéger le lit de la rivière de l'érosion.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Puisque \(h_n > h_c\), l'écoulement est en régime fluvial (subcritique).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pente du canal était de 0.05 (très forte), \(h_n\) deviendrait environ 0.51 m. Quel serait alors le régime ?

Question 4 : Calculer la vitesse d'écoulement \(V\) en régime uniforme

Principe (le concept physique)

La vitesse moyenne de l'écoulement se déduit du principe de conservation de la masse, aussi appelé équation de continuité. Pour un fluide incompressible, le débit volumique \(Q\) est simplement le produit de la vitesse moyenne \(V\) par la section transversale de l'écoulement \(A\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation \(Q=V \cdot A\) est l'une des relations les plus fondamentales de la mécanique des fluides. Elle stipule que pour un débit constant, si la section se rétrécit, la vitesse doit augmenter, et vice-versa. La vitesse \(V\) calculée est une vitesse moyenne, car la vitesse réelle varie à l'intérieur de la section (elle est nulle sur les parois et maximale près de la surface).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question est une simple application. Le point crucial est de bien utiliser la surface mouillée \(A\) qui correspond à l'écoulement réel, c'est-à-dire celle calculée avec la hauteur normale \(h_n\), et non la hauteur critique.

Normes (la référence réglementaire)

La conservation de la masse est une loi fondamentale de la physique, pas une norme. Tous les calculs en hydraulique en dépendent.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de continuité :

V = \frac{Q}{A}

Surface mouillée pour une section rectangulaire :

A = L \times h_n

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la vitesse \(V\) est la vitesse moyenne dans la section. Cette simplification est valable pour la plupart des calculs d'ingénierie.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	10	m³/s
Hauteur normale	\(h_n\)	1.28	m
Largeur	\(L\)	4	m

Astuces (Pour aller plus vite)

Une fois \(h_n\) trouvée, on peut aussi calculer la vitesse directement avec la formule de Manning pour la vitesse : \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2} = \frac{1}{n} R_h^{2/3} \sqrt{I}\). C'est un bon moyen de vérifier ses calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Surface mouillée \(A\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la surface mouillée

\begin{aligned} A &= L \times h_n \\ &= 4 \times 1,28 \\ &= 5,12 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse

\begin{aligned} V &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{10 \text{ m}^3/\text{s}}{5,12 \text{ m}^2} \\ &\approx 1,95 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil de vitesse conceptuel

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 1,95 m/s (soit environ 7 km/h) est une vitesse significative pour un canal. Elle est suffisamment élevée pour éroder un lit non protégé (sable, gravier) mais reste gérable pour un canal en béton.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est d'utiliser la mauvaise hauteur (par exemple \(h_c\)) pour calculer la surface \(A\). La vitesse doit toujours être cohérente avec la hauteur d'eau de l'écoulement que l'on étudie, ici l'écoulement normal (\(h_n\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Retenez la relation de base \(Q=V \cdot A\). Elle vous permettra toujours de trouver l'un des trois paramètres si vous connaissez les deux autres. C'est un réflexe essentiel.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le point de vitesse maximale dans un canal n'est pas à la surface, à cause des frottements avec l'air et des turbulences secondaires, mais légèrement en dessous, à une profondeur d'environ 5% à 15% de la hauteur d'eau.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de l'écoulement en régime uniforme est d'environ 1,95 m/s.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec \(h_n=1.40\) m (cas du béton plus rugueux de la question 1), quelle serait la nouvelle vitesse ?

Question 5 : Calculer le nombre de Froude \(Fr\) et confirmer la conclusion

Principe (le concept physique)

Le nombre de Froude est le critère ultime pour classifier le régime. Il compare la vitesse de l'écoulement (\(V\)) à la célérité (vitesse de propagation) des petites ondes de surface (\(c = \sqrt{g \cdot h}\)). Si l'écoulement est plus rapide que les ondes (\(V > c \Rightarrow Fr > 1\)), elles ne peuvent pas remonter le courant : le régime est torrentiel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le nombre de Froude est un nombre adimensionnel qui exprime le ratio entre les forces d'inertie (liées à la vitesse \(V\)) et les forces de gravité (liées à la profondeur \(h\)). Un \(Fr < 1\) signifie que la gravité est dominante (écoulement lent, stable). Un \(Fr > 1\) signifie que l'inertie est dominante (écoulement rapide, instable).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La comparaison des hauteurs (\(h_n\) vs \(h_c\)) et le calcul du nombre de Froude sont deux méthodes pour arriver à la même conclusion. Le nombre de Froude est plus général et considéré comme plus rigoureux. Il est indispensable de savoir le calculer pour confirmer une hypothèse de régime.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation du nombre de Froude et les seuils de 1.0 pour la classification des régimes sont des standards internationaux en mécanique des fluides et en hydraulique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un canal rectangulaire, où la hauteur hydraulique est égale à la hauteur d'eau :

Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot h_n}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul est fait pour l'écoulement uniforme, en utilisant donc la vitesse \(V\) et la hauteur \(h_n\) correspondantes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse	\(V\)	1.95	m/s
Hauteur normale	\(h_n\)	1.28	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Rappelez-vous qu'à l'état critique, \(Fr=1\) par définition. Vous pouvez utiliser cette relation pour retrouver la vitesse critique \(V_c = \sqrt{g \cdot h_c}\). Comparer la vitesse réelle \(V\) à cette vitesse critique \(V_c\) est une autre façon de déterminer le régime (\(V

Schéma (Avant les calculs)

Propagation d'une onde

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du nombre de Froude

\begin{aligned} Fr &= \frac{V}{\sqrt{g \cdot h_n}} \\ &= \frac{1,95}{\sqrt{9,81 \times 1,28}} \\ &= \frac{1,95}{\sqrt{12,56}} \\ &= \frac{1,95}{3,54} \\ &\approx 0,55 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Échelle du Nombre de Froude

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Froude obtenu est 0,55. Comme cette valeur est inférieure à 1, elle confirme que l'écoulement est bien en régime fluvial (subcritique), ce que nous avions déjà déduit en comparant \(h_n\) et \(h_c\). Les deux méthodes sont cohérentes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'utiliser la mauvaise hauteur dans la racine carrée. Pour un canal rectangulaire, c'est bien la hauteur d'eau \(h_n\). Pour un canal trapézoïdal, il faudrait utiliser la hauteur hydraulique \(H_m=A/B\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul du nombre de Froude est la méthode la plus fiable pour caractériser un régime. Vous devez maîtriser sa formule pour une section rectangulaire (\(V/\sqrt{gh}\)) et les trois cas possibles (\(<1, =1, >1\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nombre de Froude a été nommé en l'honneur de William Froude, un ingénieur anglais du 19ème siècle. Il l'a développé non pas pour les canaux, mais pour étudier la résistance des vagues sur les coques de navires en utilisant des modèles réduits, un principe de similitude encore utilisé aujourd'hui.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le nombre de Froude est \(Fr \approx 0,55\), ce qui confirme un régime fluvial.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En considérant la vitesse critique \(V_c = \sqrt{g \cdot h_c}\), calculez sa valeur et comparez-la à la vitesse réelle \(V=1,95\) m/s.

Outil Interactif : Simulateur de Hauteur Critique

Utilisez cet outil pour voir comment la hauteur critique varie en fonction du débit et de la largeur d'un canal rectangulaire.

Paramètres d'Entrée

Débit (Q) 10 m³/s

Largeur (L) 4 m

Résultats Clés

Hauteur Critique (h_c) - m

Vitesse Critique (V_c) - m/s

Glossaire

Régime Fluvial (ou Subcritique): Régime d'écoulement lent et profond, où \(h > h_c\) et \(Fr < 1\). Les ondes de surface peuvent remonter le courant.
Régime Torrentiel (ou Supercritique): Régime d'écoulement rapide et peu profond, où \(h < h_c\) et \(Fr > 1\). Le contrôle de l'écoulement se fait par l'amont.
Hauteur Critique (\(h_c\)): Hauteur d'eau pour laquelle le débit s'écoule avec un minimum d'énergie spécifique. C'est l'état de transition entre le régime fluvial et torrentiel.
Nombre de Froude (\(Fr\)): Nombre sans dimension comparant les forces d'inertie aux forces de gravité. C'est le critère fondamental pour déterminer le régime d'écoulement.