ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Pente Critique d’un Canal

Calcul de la Pente Critique d'un Canal

Calcul de la Pente Critique d'un Canal

Comprendre la Pente Critique et l'Écoulement Critique

En hydraulique à surface libre, pour un débit et une section de canal donnés, il existe une **hauteur critique** (\(y_c\)) pour laquelle l'énergie spécifique de l'écoulement est minimale. L'écoulement à cette hauteur est dit "critique". La **pente critique** (\(S_c\)) est la pente exacte du fond du canal qui permettrait de maintenir un écoulement uniforme à cette hauteur critique. Cette valeur est une référence fondamentale : si la pente réelle du canal est inférieure à la pente critique, l'écoulement sera lent et tranquille (subcritique ou fluvial). Si elle est supérieure, l'écoulement sera rapide et agité (supercritique ou torrentiel). Connaître la pente critique est donc essentiel pour prédire le comportement d'un écoulement et concevoir des ouvrages stables.

Données de l'étude

On cherche à déterminer la pente critique d'un canal trapézoïdal en béton pour un débit spécifique.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement :

  • Débit (\(Q\)) : \(20 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Pente des berges (\(m\)) : 2 (2 H pour 1 V)
  • Coefficient de Strickler (\(K_s\)) pour le béton : \(75 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Section de Canal et Hauteur Critique
Surface Critique b = 4.0 m y_c = ?

La pente critique est celle qui maintient un écoulement à la hauteur critique \(y_c\).

Questions à traiter

  1. Poser l'équation de l'écoulement critique et déterminer la hauteur critique (\(y_c\)) par itérations.
  2. Calculer les caractéristiques de l'écoulement à l'état critique : surface (\(A_c\)), rayon hydraulique (\(R_{hc}\)) et vitesse (\(v_c\)).
  3. En utilisant la formule de Manning-Strickler, calculer la pente critique (\(S_c\)).

Correction : Calcul de la Pente Critique d'un Canal

Question 1 : Détermination de la Hauteur Critique (\(y_c\))

Principe :

L'écoulement est critique lorsque le nombre de Froude est égal à 1. Cela se traduit par la relation \(\frac{Q^2}{g} = \frac{A^3}{B}\), où \(A\) est la surface mouillée et \(B\) la largeur à la surface libre. Pour une section trapézoïdale, \(A = (b + my)y\) et \(B = b + 2my\). L'équation doit être résolue par tâtonnements pour trouver la hauteur \(y_c\) qui la vérifie.

Calcul :

On calcule d'abord le terme de gauche (constant) :

\[ \frac{Q^2}{g} = \frac{(20 \, \text{m}^3/\text{s})^2}{9.81 \, \text{m/s}^2} = \frac{400}{9.81} \approx 40.77 \]

On doit donc trouver \(y_c\) tel que \(\frac{A^3}{B} = 40.77\). Essayons des valeurs pour \(y\).

Essai 1 : \(y = 1.5 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= (4 + 2 \cdot 1.5) \cdot 1.5 = 10.5 \, \text{m}^2 \\ B &= 4 + 2 \cdot 2 \cdot 1.5 = 10 \, \text{m} \\ \frac{A^3}{B} &= \frac{(10.5)^3}{10} = \frac{1157.6}{10} = 115.7 \end{aligned} \]

115.7 > 40.77. La hauteur est trop grande.

Essai 2 : \(y = 1.0 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= (4 + 2 \cdot 1.0) \cdot 1.0 = 6.0 \, \text{m}^2 \\ B &= 4 + 2 \cdot 2 \cdot 1.0 = 8.0 \, \text{m} \\ \frac{A^3}{B} &= \frac{(6.0)^3}{8.0} = \frac{216}{8} = 27.0 \end{aligned} \]

27.0 < 40.77. La hauteur est trop faible.

Essai 3 : \(y = 1.2 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= (4 + 2 \cdot 1.2) \cdot 1.2 = 7.68 \, \text{m}^2 \\ B &= 4 + 2 \cdot 2 \cdot 1.2 = 8.8 \, \text{m} \\ \frac{A^3}{B} &= \frac{(7.68)^3}{8.8} = \frac{453.0}{8.8} \approx 51.5 \end{aligned} \]

51.5 est encore un peu élevé. Essayons \(y=1.1 m\).

Essai 4 : \(y = 1.1 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= (4 + 2 \cdot 1.1) \cdot 1.1 = 6.82 \, \text{m}^2 \\ B &= 4 + 2 \cdot 2 \cdot 1.1 = 8.4 \, \text{m} \\ \frac{A^3}{B} &= \frac{(6.82)^3}{8.4} = \frac{317.2}{8.4} \approx 37.76 \end{aligned} \]

La solution est entre 1.1 m et 1.2 m. Par interpolation ou un dernier essai, on trouve \(y_c \approx 1.13\) m.

Résultat Question 1 : La hauteur critique est \(y_c \approx 1.13 \, \text{m}\).

Question 2 : Caractéristiques de l'Écoulement Critique

Principe :

Une fois la hauteur critique \(y_c\) déterminée, on peut calculer toutes les autres grandeurs géométriques et hydrauliques correspondantes en utilisant les formules standards.

Calcul :

On utilise \(y_c = 1.13 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} A_c &= (4 + 2 \cdot 1.13) \cdot 1.13 \approx 7.07 \, \text{m}^2 \\ P_c &= 4 + 2 \cdot 1.13 \sqrt{1+2^2} = 4 + 2.26 \sqrt{5} \approx 9.06 \, \text{m} \\ R_{hc} &= \frac{A_c}{P_c} = \frac{7.07}{9.06} \approx 0.780 \, \text{m} \\ v_c &= \frac{Q}{A_c} = \frac{20}{7.07} \approx 2.83 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : À l'état critique, \(A_c \approx 7.07 \, \text{m}^2\), \(R_{hc} \approx 0.780 \, \text{m}\) et \(v_c \approx 2.83 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Calcul de la Pente Critique (\(S_c\))

Principe :

La pente critique est la pente unique pour laquelle un écoulement uniforme se produit exactement à la hauteur critique. On la trouve en réarrangeant la formule de Manning-Strickler pour isoler la pente \(S\), en utilisant les valeurs de vitesse et de rayon hydraulique calculées à l'état critique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_c = K_s \cdot R_{hc}^{2/3} \cdot S_c^{1/2} \Rightarrow S_c = \left( \frac{v_c}{K_s R_{hc}^{2/3}} \right)^2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_c &= \left( \frac{2.83}{75 \times (0.780)^{2/3}} \right)^2 \\ &= \left( \frac{2.83}{75 \times 0.846} \right)^2 \\ &= \left( \frac{2.83}{63.45} \right)^2 \\ &= (0.0446)^2 \approx 0.00199 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pente critique du canal est \(S_c \approx 0.00199\), soit environ \(0.2\%\) ou \(2 \, \text{m/km}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un écoulement est dit "critique" lorsque :

2. Si la pente réelle d'un canal est supérieure à sa pente critique (\(S > S_c\)), l'écoulement sera :

3. La pente critique d'un canal dépend de :

Glossaire

Écoulement Critique
Régime d'écoulement pour lequel le nombre de Froude est égal à 1. C'est l'état de transition entre l'écoulement fluvial (subcritique) et l'écoulement torrentiel (supercritique).
Hauteur Critique (\(y_c\))
Profondeur d'eau spécifique pour laquelle un débit donné s'écoule à l'état critique. Pour ce débit, c'est la hauteur qui correspond à l'énergie spécifique minimale.
Pente Critique (\(S_c\))
Pente du fond d'un canal qui produit un écoulement uniforme à la hauteur critique. Si la pente réelle est plus forte, l'écoulement sera supercritique ; si elle est plus faible, il sera subcritique.
Nombre de Froude (\(Fr\))
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. \(Fr < 1\) pour un écoulement subcritique, \(Fr = 1\) pour un écoulement critique, et \(Fr > 1\) pour un écoulement supercritique.
Pente Critique - Exercice d'Application

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