ÉTUDE HYDRAULIQUE

Hauteur Normale dans un Canal Trapézoïdal

Détermination de la Hauteur Normale dans un Canal Trapézoïdal

Détermination de la Hauteur Normale dans un Canal Trapézoïdal

Comprendre la Hauteur Normale (\(y_n\))

En hydraulique à surface libre, un écoulement est dit "uniforme" lorsque la hauteur d'eau reste constante sur une longue section du canal. Cette hauteur d'équilibre est appelée **hauteur normale** (ou profondeur normale), notée \(y_n\). Elle représente la hauteur pour laquelle les forces motrices (la composante du poids due à la pente) sont exactement équilibrées par les forces de frottement sur les parois du canal. La détermination de la hauteur normale est un calcul fondamental pour le dimensionnement des canaux, car elle permet de s'assurer que le canal a une capacité suffisante pour un débit donné sans déborder.

Données de l'étude

On doit déterminer la hauteur d'eau (hauteur normale) dans un canal d'évacuation trapézoïdal pour un débit de pointe donné.

Caractéristiques du canal :

  • Débit de projet (\(Q\)) : \(10 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Largeur au fond (\(b\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
  • Pente des berges (\(m\)) : 2 (ce qui signifie 2 unités à l'horizontale pour 1 unité à la verticale)
  • Pente du canal (\(S\)) : \(0.05 \%\) (soit \(0.0005 \, \text{m/m}\))
  • Coefficient de Strickler (\(K_s\)) pour un canal en terre avec végétation : \(40 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
Schéma : Section d'un Canal Trapézoïdal
b = 3.0 m y_n = ? Pente 1:m

La géométrie de la section mouillée dépend de la hauteur d'eau \(y\).

Questions à traiter

  1. Exprimer la surface mouillée \(A\) et le périmètre mouillé \(P\) en fonction de la hauteur d'eau \(y\).
  2. Réarranger la formule de Manning-Strickler pour isoler le terme géométrique \(A \cdot R_h^{2/3}\) et calculer sa valeur cible.
  3. Par une méthode itérative (essais et erreurs), déterminer la hauteur normale \(y_n\) avec une précision de l'ordre du centimètre.

Correction : Détermination de la Hauteur Normale dans un Canal Trapézoïdal

Question 1 : Expression des Propriétés Géométriques

Principe :

Pour une section trapézoïdale, la surface est celle d'un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(y\), à laquelle s'ajoutent deux triangles de hauteur \(y\) et de base \(my\). Le périmètre mouillé est la somme de la base \(b\) et des longueurs des deux talus inclinés, calculées avec le théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = (b + my)y = by + my^2 \]
\[ P = b + 2y\sqrt{1+m^2} \]
Résultat Question 1 : Les formules sont \(A = 3y + 2y^2\) et \(P = 3 + 2y\sqrt{5}\).

Question 2 : Calcul de la Valeur Cible

Principe :

On part de la formule de Manning-Strickler \(Q = K_s \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2}\) et on l'isole pour le terme qui ne dépend que de la géométrie de la section (\(y\)). Ce sera la valeur que notre fonction géométrique devra atteindre.

Calcul :
\[ A \cdot R_h^{2/3} = \frac{Q}{K_s S^{1/2}} \]
\[ \begin{aligned} \frac{Q}{K_s S^{1/2}} &= \frac{10 \, \text{m}^3/\text{s}}{40 \, \text{m}^{1/3}/\text{s} \times (0.0005)^{1/2}} \\ &= \frac{10}{40 \times 0.02236} \\ &= \frac{10}{0.8944} \\ &\approx 11.18 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Nous devons trouver la hauteur \(y\) pour laquelle \(A \cdot R_h^{2/3} = 11.18\).

Question 3 : Calcul Itératif de la Hauteur Normale (\(y_n\))

Principe :

Il n'existe pas de solution directe pour \(y\). Nous allons donc tester des valeurs de \(y\) jusqu'à trouver celle qui donne un résultat pour \(A \cdot R_h^{2/3}\) proche de 11.18.

Itérations :

Essai 1 : Supposons \(y = 2.0 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= 3(2) + 2(2)^2 = 6 + 8 = 14 \, \text{m}^2 \\ P &= 3 + 2(2)\sqrt{5} = 3 + 8.94 = 11.94 \, \text{m} \\ R_h &= 14 / 11.94 \approx 1.172 \, \text{m} \\ A \cdot R_h^{2/3} &= 14 \times (1.172)^{2/3} \approx 14 \times 1.112 = 15.57 \end{aligned} \]

15.57 est supérieur à 11.18. La hauteur \(y\) est donc trop grande. Essayons plus bas.

Essai 2 : Supposons \(y = 1.5 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= 3(1.5) + 2(1.5)^2 = 4.5 + 4.5 = 9.0 \, \text{m}^2 \\ P &= 3 + 2(1.5)\sqrt{5} = 3 + 6.71 = 9.71 \, \text{m} \\ R_h &= 9.0 / 9.71 \approx 0.927 \, \text{m} \\ A \cdot R_h^{2/3} &= 9.0 \times (0.927)^{2/3} \approx 9.0 \times 0.951 = 8.56 \end{aligned} \]

8.56 est inférieur à 11.18. La hauteur normale se situe donc entre 1.5 m et 2.0 m.

Essai 3 : Supposons \(y = 1.7 \, \text{m}\)

\[ \begin{aligned} A &= 3(1.7) + 2(1.7)^2 = 5.1 + 5.78 = 10.88 \, \text{m}^2 \\ P &= 3 + 2(1.7)\sqrt{5} = 3 + 7.60 = 10.60 \, \text{m} \\ R_h &= 10.88 / 10.60 \approx 1.026 \, \text{m} \\ A \cdot R_h^{2/3} &= 10.88 \times (1.026)^{2/3} \approx 10.88 \times 1.017 = 11.06 \end{aligned} \]

11.06 est très proche de 11.18. La précision est suffisante pour cet exercice.

Résultat Question 3 : La hauteur normale pour un débit de 10 m³/s est \(y_n \approx 1.70 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La hauteur normale est la hauteur d'eau pour laquelle :

2. Pour un même débit, un canal plus rugueux (K_s plus faible) aura une hauteur normale :

3. Dans la formule de Manning-Strickler, quel paramètre géométrique a le plus d'influence sur le calcul de la vitesse ?

Glossaire

Hauteur Normale (\(y_n\))
Hauteur d'eau atteinte en régime d'écoulement uniforme, où la ligne d'eau est parallèle au fond du canal. C'est la hauteur d'équilibre pour un débit, une pente et une section donnés.
Écoulement Uniforme
Régime d'écoulement dans lequel la hauteur, la vitesse moyenne et la section mouillée restent constantes le long du canal.
Canal Trapézoïdal
Canal à ciel ouvert dont la section transversale a la forme d'un trapèze. C'est une forme très courante pour les canaux en terre ou revêtus.
Coefficient de Strickler (\(K_s\))
Coefficient empirique qui caractérise la rugosité des parois d'un canal. Il est l'inverse du coefficient de Manning (\(n\)). Un \(K_s\) élevé correspond à une paroi lisse.
Hauteur Normale - Exercice d'Application
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