ÉTUDE HYDRAULIQUE

Débit dans un Canal Rectangulaire (Manning-Strickler)

Calcul du Débit dans un Canal Rectangulaire (Manning-Strickler)

Calcul du Débit dans un Canal Rectangulaire (Manning-Strickler)

Comprendre l'Hydraulique à Surface Libre

L'hydraulique à surface libre étudie les écoulements de liquides dont la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère, comme dans les rivières, les canaux ou les égouts non pleins. Contrairement aux écoulements en charge (tuyaux pleins), la force motrice est principalement la gravité, et l'écoulement se fait le long d'une pente. La **formule de Manning-Strickler** est l'une des équations empiriques les plus utilisées au monde pour calculer la vitesse moyenne de l'écoulement dans un canal en se basant sur sa géométrie, sa pente et la rugosité de ses parois.

Données de l'étude

On souhaite calculer le débit d'un canal d'irrigation de section rectangulaire, en béton brut, pour une hauteur d'eau donnée.

Caractéristiques du canal :

  • Largeur du canal (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau (\(y\)) : \(0.8 \, \text{m}\)
  • Pente du canal (\(S\)) : \(0.1 \%\) (soit \(0.001 \, \text{m/m}\))
  • Coefficient de Strickler (\(K_s\)) pour le béton : \(70 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
Schéma : Section Transversale du Canal
Largeur b = 2.0 m Hauteur y = 0.8 m

Les dimensions géométriques sont essentielles pour le calcul.

Questions à traiter

  1. Calculer la surface mouillée (\(A\)).
  2. Calculer le périmètre mouillé (\(P\)).
  3. Calculer le rayon hydraulique (\(R_h\)).
  4. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\)) avec la formule de Manning-Strickler.
  5. En déduire le débit (\(Q\)) dans le canal.

Correction : Calcul du Débit dans un Canal Rectangulaire

Question 1 : Calcul de la Surface Mouillée (\(A\))

Principe :

La surface mouillée, ou aire d'écoulement, est la section transversale du flux d'eau. Pour un canal rectangulaire, elle est simplement le produit de la largeur du canal par la hauteur de l'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = b \times y \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 2.0 \, \text{m} \times 0.8 \, \text{m} \\ &= 1.6 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La surface mouillée est de \(1.6 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Calcul du Périmètre Mouillé (\(P\))

Principe :

Le périmètre mouillé est la longueur de la paroi du canal qui est en contact avec l'eau. Pour un canal rectangulaire, il correspond à la largeur du fond plus deux fois la hauteur de l'eau. La surface libre n'est pas incluse car elle n'exerce pas de frottement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = b + 2y \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= 2.0 \, \text{m} + 2 \times 0.8 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} + 1.6 \, \text{m} \\ &= 3.6 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le périmètre mouillé est de \(3.6 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul du Rayon Hydraulique (\(R_h\))

Principe :

Le rayon hydraulique est un paramètre géométrique crucial qui représente l'efficacité d'un canal à transporter de l'eau. Il est défini comme le rapport de la surface mouillée sur le périmètre mouillé. Un rayon hydraulique plus grand signifie moins de frottement par unité de surface, et donc un écoulement plus efficace.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_h = \frac{A}{P} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{1.6 \, \text{m}^2}{3.6 \, \text{m}} \\ &\approx 0.444 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rayon hydraulique est d'environ \(0.444 \, \text{m}\).

Question 4 : Calcul de la Vitesse d'Écoulement (\(v\))

Principe :

La formule de Manning-Strickler relie la vitesse moyenne de l'écoulement aux caractéristiques du canal. La vitesse est proportionnelle au coefficient de Strickler \(K_s\), à la puissance 2/3 du rayon hydraulique, et à la puissance 1/2 de la pente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = K_s \cdot R_h^{2/3} \cdot S^{1/2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= 70 \times (0.444)^{2/3} \times (0.001)^{1/2} \\ &= 70 \times 0.583 \times 0.0316 \\ &\approx 1.29 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse moyenne de l'écoulement est d'environ \(1.29 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Calcul du Débit (\(Q\))

Principe :

Le débit est le volume d'eau qui traverse la section du canal par unité de temps. Il est simplement le produit de la surface mouillée par la vitesse moyenne de l'écoulement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = A \cdot v \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 1.6 \, \text{m}^2 \times 1.29 \, \text{m/s} \\ &= 2.064 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le débit dans le canal est d'environ \(2.06 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit 2060 L/s).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le rayon hydraulique d'un canal représente :

2. Si la pente d'un canal augmente, le débit (pour une même hauteur d'eau) va :

3. Un coefficient de Strickler (\(K_s\)) plus élevé signifie que les parois du canal sont :

Glossaire

Hydraulique à Surface Libre
Branche de l'hydraulique qui étudie les écoulements dont la surface supérieure est libre et soumise à la pression atmosphérique.
Formule de Manning-Strickler
Équation empirique permettant de calculer la vitesse moyenne d'un écoulement uniforme dans un canal. Elle relie la vitesse à la géométrie du canal (\(R_h\)), à sa pente (\(S\)) et à la rugosité de ses parois (\(K_s\)).
Surface Mouillée (\(A\))
Aire de la section transversale du fluide, perpendiculaire à la direction de l'écoulement.
Périmètre Mouillé (\(P\))
Longueur de la ligne de contact entre le fluide et les parois solides du canal.
Rayon Hydraulique (\(R_h\))
Rapport de la surface mouillée sur le périmètre mouillé (\(R_h = A/P\)). Il caractérise l'efficacité hydraulique d'une section d'écoulement.
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