Débit dans un Canal Rectangulaire (Manning-Strickler)

Contexte : L'hydraulique à surface libre est la branche de l'hydraulique qui étudie les écoulements de liquides avec une surface en contact avec l'atmosphère, comme dans les rivières, les canaux ou les conduites partiellement remplies. La détermination du débitLe volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Son unité est le m³/s. est une tâche fondamentale pour le dimensionnement et la gestion de ces ouvrages.

Nous allons étudier le cas d'un canal d'irrigation de section rectangulaire, construit en béton lisse. L'objectif est de calculer sa capacité de transit, c'est-à-dire le débit maximal qu'il peut évacuer pour une hauteur d'eau donnée. Pour cela, nous utiliserons la formule empirique de Manning-Strickler, très répandue en ingénierie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de décomposer un problème d'hydraulique en étapes logiques : calcul des paramètres géométriques (section et périmètre mouillés), détermination du paramètre hydraulique (rayon hydraulique), puis application de la formule de vitesse et de débit.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la formule de Manning-Strickler.
Calculer les paramètres géométriques et hydrauliques d'un canal rectangulaire.
Déterminer la vitesse d'écoulement et le débit dans un canal à surface libre.
Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en hydraulique.

Données de l'étude

On considère un canal de section rectangulaire servant à l'irrigation de parcelles agricoles. Ses caractéristiques géométriques et hydrauliques sont définies ci-dessous.

Schéma de la section du canal

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du canal au radier	\(L\)	2.0	\(\text{m}\)
Hauteur de l'eau dans le canal	\(h\)	0.8	\(\text{m}\)
Pente longitudinale du canal	\(I\)	0.001	\(\text{m/m}\)
Coefficient de Strickler (béton lisse)	\(K\)	70	\(\text{m}^{1/3}/\text{s}\)

Questions à traiter

Calculer la section mouillée \(S_m\) du canal.
Calculer le périmètre mouillé \(P_m\).
En déduire le rayon hydraulique \(R_h\).
Calculer la vitesse moyenne d'écoulement \(V\) avec la formule de Manning-Strickler.
Calculer le débit \(Q\) transitant dans le canal.

Les bases de l'hydraulique à surface libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux formules principales : la formule de Manning-Strickler pour la vitesse, et l'équation de continuité pour le débit. Ces formules reposent sur les caractéristiques géométriques de la section d'écoulement.

1. Paramètres géométriques (canal rectangulaire)
- La section mouillée (\(S_m\)) est l'aire de la section transversale de l'eau : \(S_m = L \times h\).
- Le périmètre mouillé (\(P_m\)) est la longueur de la paroi du canal en contact avec l'eau : \(P_m = L + 2h\).

2. Rayon Hydraulique (\(R_h\))
Le rayon hydraulique est un paramètre crucial qui représente l'efficacité d'une section à convoyer l'eau. C'est le rapport entre la section mouillée et le périmètre mouillé. \[ R_h = \frac{S_m}{P_m} \]

3. Formule de Manning-Strickler
Elle permet de calculer la vitesse moyenne \(V\) d'un écoulement uniforme : \[ V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2} \] Où \(K\) est le coefficient de Strickler qui dépend de la rugosité des parois, \(R_h\) le rayon hydraulique et \(I\) la pente.

4. Équation de continuité (Débit)
Le débit \(Q\) est le produit de la section mouillée par la vitesse moyenne de l'écoulement. \[ Q = S_m \times V \]

Correction : Débit dans un Canal Rectangulaire (Manning-Strickler)

Question 1 : Calculer la section mouillée \(S_m\)

Principe

La section mouillée est l'aire de la section transversale occupée par l'eau. C'est la surface à travers laquelle le débit s'écoule. Pour une forme simple comme un rectangle, il s'agit de sa surface géométrique de base.

Mini-Cours

En hydraulique, la section mouillée (notée \(S_m\) ou \(A\)) est un paramètre fondamental. Elle détermine, avec la vitesse, le volume d'eau qui peut passer. Sa maîtrise est la première étape de tout calcul de débit.

Remarque Pédagogique

Visualisez la section du canal comme une "porte" pour l'eau. La section mouillée est la taille de cette porte. Plus la porte est grande, plus l'eau peut passer facilement. Il s'agit simplement d'un calcul d'aire.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, il s'agit d'une application de principes géométriques universels reconnus dans tous les manuels de physique et d'ingénierie.

Formule(s)

Formule de la section mouillée d'un rectangle

S_m = L \times h

Hypothèses

Nous supposons que le canal est prismatique (sa section est constante le long de l'écoulement) et que la surface de l'eau est horizontale sur la largeur du canal.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(L\)	2.0	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau	\(h\)	0.8	\(\text{m}\)

Astuces

Vérifiez toujours la cohérence de vos unités avant de multiplier. Ici, mètres × mètres donnera bien des mètres carrés (m²), l'unité attendue pour une surface.

Schéma (Avant les calculs)

Section rectangulaire à calculer

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} S_m &= 2.0 \, \text{m} \times 0.8 \, \text{m} \\ &= 1.6 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de la section mouillée

Réflexions

Une surface de 1.6 m² est une section de taille moyenne pour un canal d'irrigation. Cette valeur seule ne nous dit rien sur le débit, mais elle est la base indispensable pour la suite des calculs.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Si la largeur était donnée en cm, il aurait fallu la convertir en mètres avant le calcul pour obtenir un résultat en m².

Points à retenir

Pour une section rectangulaire, la section mouillée est simplement sa largeur multipliée par la hauteur d'eau.

Le saviez-vous ?

La mesure des surfaces remonte à l'Égypte ancienne. Les crues du Nil effaçaient les limites des champs, et les "arpenteurs" devaient recalculer chaque année la surface des parcelles agricoles pour la collecte des impôts.

FAQ

Résultat Final

La section mouillée du canal est de \(S_m = 1.6 \, \text{m}^2\).

A vous de jouer

Si la largeur du canal était de 3 m et la hauteur d'eau de 0.5 m, quelle serait la section mouillée (en m²) ?

Question 2 : Calculer le périmètre mouillé \(P_m\)

Principe

Le périmètre mouillé représente la longueur de contact entre l'eau et les parois du canal. Cette longueur est directement liée aux forces de frottement qui s'opposent à l'écoulement. Moins de frottement signifie un meilleur écoulement.

Mini-Cours

Le périmètre mouilléLongueur du contour de la section mouillée en contact avec les parois solides., noté \(P_m\), est un concept clé car il conditionne les pertes d'énergie par frottement. À section égale, une forme qui minimise le périmètre mouillé (comme un demi-cercle) est hydrauliquement plus "efficace".

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous deviez peindre l'intérieur du canal qui est en contact avec l'eau. Le périmètre mouillé est la longueur du trait de pinceau que vous feriez sur une coupe transversale pour couvrir le fond et les deux côtés mouillés.

Normes

Ce calcul découle de définitions géométriques de base et ne fait pas référence à une norme spécifique.

Formule(s)

Formule du périmètre mouillé d'un rectangle

\[ P_m = L + 2h \]

Hypothèses

Nous considérons toujours une section rectangulaire parfaite.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(L\)	2.0	\(\text{m}\)
Hauteur d'eau	\(h\)	0.8	\(\text{m}\)

Astuces

Décomposez mentalement le trajet : on parcourt une hauteur (\(h\)), puis la largeur du fond (\(L\)), puis on remonte l'autre hauteur (\(h\)). Le total est bien \(h+L+h = L+2h\).

Schéma (Avant les calculs)

Contour du périmètre mouillé

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} P_m &= 2.0 \, \text{m} + (2 \times 0.8 \, \text{m}) \\ &= 2.0 \, \text{m} + 1.6 \, \text{m} \\ &= 3.6 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Décomposition du périmètre mouillé

Réflexions

Le périmètre mouillé (3.6 m) est supérieur à la largeur du canal (2.0 m), ce qui est logique car il inclut les parois verticales. Cette valeur sera utilisée pour évaluer l'efficacité de la section.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier une des hauteurs ou, au contraire, d'inclure la surface libre, ce qui est incorrect. Le périmètre mouillé ne concerne que le contact solide-liquide.

Points à retenir

Le périmètre mouillé d'un canal rectangulaire est la somme de la largeur du fond et de deux fois la hauteur d'eau.

Le saviez-vous ?

Les ingénieurs romains, bien qu'ils n'aient pas formalisé ces calculs, avaient une compréhension intuitive de ces concepts. Ils construisaient des aqueducs avec des sections les plus efficaces possible pour maximiser le débit sur de longues distances avec de faibles pentes.

FAQ

Résultat Final

Le périmètre mouillé du canal est de \(P_m = 3.6 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Pour le même canal de 3 m de large avec 0.5 m d'eau, quel serait le périmètre mouillé (en m) ?

Question 3 : En déduire le rayon hydraulique \(R_h\)

Principe

Le rayon hydraulique n'est pas un rayon au sens géométrique. C'est un paramètre composite qui exprime le rapport entre la surface disponible pour l'écoulement (\(S_m\)) et la surface de frottement (\(P_m\)). Un grand rayon hydraulique signifie une section hydrauliquement "efficace".

Mini-Cours

Le rayon hydrauliqueRapport de la section mouillée au périmètre mouillé. Mesure l'efficacité hydraulique d'un canal. (\(R_h\)) est fondamental dans les formules d'écoulement comme Manning-Strickler car il synthétise la géométrie de la section en un seul nombre. L'exposant 2/3 qui lui est appliqué dans la formule montre son influence prépondérante sur la vitesse.

Remarque Pédagogique

Considérez le rayon hydraulique comme une mesure de la "compacité" de l'écoulement. Pour une même quantité d'eau, un écoulement "compact" (Rh élevé) aura moins de contact avec les parois et donc moins de frottement, ce qui lui permettra d'aller plus vite.

Normes

La définition du rayon hydraulique est universelle et non soumise à une norme particulière.

Formule(s)

Formule du rayon hydraulique

R_h = \frac{S_m}{P_m}

Hypothèses

Les calculs de \(S_m\) et \(P_m\) sont supposés corrects.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Section mouillée	\(S_m\)	1.6	\(\text{m}^2\)
Périmètre mouillé	\(P_m\)	3.6	\(\text{m}\)

Astuces

Avant de calculer, vérifiez que l'unité sera correcte : \(\text{m}^2\) divisé par \(\text{m}\) donne bien des \(\text{m}\). Cela permet de valider la logique de la formule.

Schéma (Avant les calculs)

Rapport entre Surface et Périmètre

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} R_h &= \frac{1.6 \, \text{m}^2}{3.6 \, \text{m}} \\ &\approx 0.444 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison : Hauteur et Rayon Hydraulique

Réflexions

Le rayon hydraulique (0.444 m) est environ la moitié de la hauteur d'eau (0.8 m). Cela indique que les frottements sur les parois verticales ont une influence non négligeable par rapport au fond.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'inverser le rapport (\(P_m/S_m\)). Rappelez-vous que la section "qui porte" l'écoulement est au numérateur.

Points à retenir

Le rayon hydraulique est le rapport de la section mouillée sur le périmètre mouillé. Il mesure l'efficacité de la section. \(R_h = S_m / P_m\).

Le saviez-vous ?

La section hydrauliquement la plus efficace de toutes est le demi-cercle, car pour une surface donnée, il minimise le périmètre. C'est pourquoi les grands tunnels hydrauliques ont souvent une section circulaire.

FAQ

Résultat Final

Le rayon hydraulique est d'environ \(R_h \approx 0.444 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Pour le canal de 3m de large avec 0.5m d'eau (\(S_m=1.5\) m², \(P_m=4.0\) m), quel serait le rayon hydraulique (en m) ?

Question 4 : Calculer la vitesse moyenne d'écoulement \(V\)

Principe

La vitesse de l'eau dans un canal est le résultat de l'équilibre entre la force motrice (la gravité, liée à la pente) et les forces de résistance (le frottement sur les parois). La formule de Manning-Strickler modélise cet équilibre de manière empirique.

Mini-Cours

La formule \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2}\) montre que la vitesse augmente avec la "lisseté" des parois (\(K\)), avec l'efficacité de la section (\(R_h\)) et avec la pente (\(I\)). L'influence de la pente est moins forte que celle du rayon hydraulique (exposant 1/2 contre 2/3).

Remarque Pédagogique

Cette étape est le cœur du calcul. Nous assemblons toutes les informations préparées précédemment (géométrie, pente, rugosité) pour enfin obtenir la vitesse de l'eau. C'est la transformation des caractéristiques statiques du canal en une grandeur dynamique.

Normes

Les coefficients de rugosité comme celui de Strickler sont tabulés dans des normes et des guides techniques en fonction des matériaux (béton, terre, canal enherbé, etc.) pour assurer l'uniformité des calculs d'ingénierie.

Formule(s)

Formule de Manning-Strickler

V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2}

Hypothèses

On suppose que l'écoulement est uniforme et permanent (la hauteur d'eau et la vitesse ne varient ni dans l'espace ni dans le temps), ce qui est la condition d'application stricte de la formule de Manning-Strickler.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de Strickler	\(K\)	70	\(\text{m}^{1/3}/\text{s}\)
Rayon hydraulique	\(R_h\)	0.444	\(\text{m}\)
Pente	\(I\)	0.001	\(\text{m/m}\)

Astuces

Pour éviter les erreurs, calculez chaque terme séparément avant de les multiplier. Calculez d'abord \(R_h^{2/3}\), puis \(I^{1/2}\), et enfin multipliez le tout par \(K\).

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres influençant la vitesse

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du terme géométrique (efficacité de la section)

\begin{aligned} R_h^{2/3} &\approx (0.444)^{2/3} \\ &\approx 0.583 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du terme de pente (force motrice)

\begin{aligned} I^{1/2} &= \sqrt{0.001} \\ &\approx 0.03162 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul final de la vitesse

\begin{aligned} V &= K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2} \\ &\approx 70 \times 0.583 \times 0.03162 \\ &\approx 1.29 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil de vitesse dans la section

Réflexions

Une vitesse de 1.29 m/s (environ 4.6 km/h) est une vitesse modérée pour un canal, suffisamment rapide pour éviter la sédimentation mais pas assez pour causer une érosion du béton.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International (mètres, secondes) avant d'appliquer la formule. Le coefficient K est donné en \(\text{m}^{1/3}/\text{s}\), ce qui est cohérent avec \(R_h\) en \(\text{m}\) pour obtenir une vitesse en \(\text{m/s}\).

Points à retenir

La vitesse dépend de la rugosité (\(K\)), de la géométrie (\(R_h\)) et de la pente (\(I\)). Maîtriser la formule \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2}\) est essentiel en hydraulique à surface libre.

Le saviez-vous ?

L'ingénieur irlandais Robert Manning a proposé sa formule en 1890. Il l'a établie en analysant des centaines de mesures de débits dans des canaux et rivières, sans les outils informatiques dont nous disposons aujourd'hui !

FAQ

Résultat Final

La vitesse moyenne d'écoulement dans le canal est d'environ \(V \approx 1.29 \, \text{m/s}\).

A vous de jouer

Si le canal était plus rugueux (K=50) mais avec la même géométrie et la même pente, quelle serait la nouvelle vitesse (en m/s) ?

Question 5 : Calculer le débit \(Q\)

Principe

Le débit est la quantité totale d'eau qui passe. Il est le produit de la "taille de la porte" (la section mouillée \(S_m\)) par la vitesse à laquelle l'eau la traverse (\(V\)). C'est la conclusion logique et l'objectif final de notre calcul.

Mini-Cours

L'équation de continuité, \(Q = S_m \times V\), est l'une des relations les plus fondamentales en mécanique des fluides. Elle exprime la conservation de la masse (pour un fluide incompressible, la conservation du volume) et est valable pour tous les types d'écoulements.

Remarque Pédagogique

C'est l'aboutissement de notre démarche. Nous avons assemblé tous les éléments un par un, et cette dernière multiplication nous donne la réponse à la question pratique : "Combien d'eau peut transporter ce canal ?".

Normes

Le calcul du débit est une procédure standard dans toutes les disciplines de l'ingénierie des fluides (hydraulique, aéraulique, etc.).

Formule(s)

Équation de continuité

Q = S_m \times V

Hypothèses

On suppose que la vitesse \(V\) calculée est bien la vitesse moyenne sur l'ensemble de la section mouillée \(S_m\). C'est une hypothèse simplificatrice inhérente à la méthode de Manning-Strickler.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Section mouillée	\(S_m\)	1.6	\(\text{m}^2\)
Vitesse moyenne	\(V\)	1.29	\(\text{m/s}\)

Astuces

Une dernière vérification des unités : \(\text{m}^2 \times \text{m/s} = \text{m}^3/\text{s}\). C'est bien l'unité d'un débit volumique. Le calcul est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Composition du débit

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} Q &= S_m \times V \\ &\approx 1.6 \, \text{m}^2 \times 1.29 \, \text{m/s} \\ &\approx 2.064 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du débit

Réflexions

Un débit de 2.06 m³/s est une capacité de transit significative. Cette valeur permet à l'ingénieur de valider si le canal est correctement dimensionné pour les besoins en irrigation qu'il doit satisfaire, ou s'il risque de déborder en cas de forte demande.

Points de vigilance

Faites attention à ne pas reporter une erreur d'un calcul précédent. Toute erreur sur \(S_m\) ou \(V\) se répercutera directement sur le calcul final du débit \(Q\).

Points à retenir

Le débit est le produit final de la section mouillée par la vitesse. C'est la valeur la plus importante pour le dimensionnement des ouvrages hydrauliques. \(Q = S_m \times V\).

Le saviez-vous ?

Le plus grand fleuve du monde en termes de débit est l'Amazone, avec un débit moyen d'environ 209 000 m³/s. Notre canal a un débit environ 100 000 fois plus faible !

FAQ

Résultat Final

Le débit transitant dans le canal est d'environ \(Q \approx 2.06 \, \text{m}^3/\text{s}\).

A vous de jouer

Avec les nouvelles données (\(S_m=1.5 \, \text{m}^2\) et une vitesse que vous calculeriez à 1.0 m/s), quel serait le débit (en \(\text{m}^3/\text{s}\)) ?

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez les curseurs pour voir comment la variation de la hauteur d'eau et de la pente du canal influence la vitesse et le débit. La largeur et la rugosité sont fixes (\(L=2\) m, \(K=70\) m¹/³/s).

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau, \(h\) (m) 0.80 m

Pente, \(I\) (m/m) 0.0010 m/m

Résultats Clés

Vitesse d'écoulement (\(V\)) - m/s

Débit (\(Q\)) - m³/s

Glossaire

Débit (Q): Volume de fluide traversant une section par unité de temps, exprimé en mètres cubes par seconde (\(\text{m}^3/\text{s}\)).
Coefficient de Strickler (K): Coefficient empirique représentant la rugosité des parois d'un canal. Plus K est élevé, plus la paroi est lisse et plus l'eau s'écoule vite. Son unité est \(\text{m}^{1/3}/\text{s}\).
Périmètre Mouillé (Pm): Longueur de la ligne de contact entre l'eau et les parois du canal dans une section transversale, exprimée en mètres (\(\text{m}\)).
Pente Longitudinale (I): Inclinaison du fond du canal dans le sens de l'écoulement. C'est un nombre sans dimension (\(\text{m/m}\)).
Rayon Hydraulique (Rh): Rapport entre la section mouillée et le périmètre mouillé (\(S_m/P_m\)). Il caractérise la forme de la section d'écoulement et est exprimé en mètres (\(\text{m}\)).
Section Mouillée (Sm): Aire de la section transversale occupée par l'eau, perpendiculaire à la direction de l'écoulement, exprimée en mètres carrés (\(\text{m}^2\)).