ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Exercice : Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Contexte : L'hydraulique en chargeBranche de l'hydraulique qui étudie les écoulements de liquides dans des conduites fermées, où le fluide remplit entièrement la section et est sous pression..

Cet exercice est un cas d'étude classique en ingénierie hydraulique : le dimensionnement d'une installation de pompage pour transférer de l'eau d'un réservoir bas vers un réservoir haut. Pour choisir la pompe adéquate, il est indispensable de calculer l'énergie totale qu'elle doit fournir au fluide. Cette énergie, exprimée en mètres de colonne de fluide, est appelée la Hauteur Manométrique Totale (HMT)Énergie totale que la pompe doit fournir au fluide par unité de poids pour vaincre les différences d'altitude, de pression et les pertes de charge du circuit.. Nous allons décomposer ce calcul étape par étape.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Bernoulli généralisé, qui est la pierre angulaire de la mécanique des fluides, pour résoudre un problème concret et fondamental pour tout technicien ou ingénieur du domaine de l'eau.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la signification physique de la Hauteur Manométrique Totale.
  • Appliquer le théorème de Bernoulli à un circuit de pompage réel.
  • Distinguer et calculer les pertes de chargePerte d'énergie subie par un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles (pertes singulières). linéaires et singulières.
  • Déterminer le régime d'écoulement à l'aide du nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement. Une valeur élevée indique un régime turbulent, une valeur faible un régime laminaire..

Données de l'étude

On souhaite pomper de l'eau d'une nappe phréatique (point A) vers un château d'eau (point B). Les deux surfaces libres sont à la pression atmosphérique. L'installation est schématisée ci-dessous.

Schéma de l'installation de pompage
A (ZA) B (ZB) Pompe ΔZ = 25 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique \(Q_v\) 50 \(\text{m}^3/\text{h}\)
Dénivelé géométrique \(\Delta Z = Z_B - Z_A\) 25 \(\text{m}\)
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) 150 \(\text{mm}\)
Longueur totale de la conduite \(L\) 200 \(\text{m}\)
Rugosité de la conduite (fonte) \(\varepsilon\) 0.26 \(\text{mm}\)
Viscosité cinématique de l'eau (10°C) \(\nu\) \(1.307 \times 10^{-6}\) \(\text{m}^2/\text{s}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m}/\text{s}^2\)
Coefficients de pertes singulières \(\sum K\) Voir détail ci-dessous -

Les pertes de charge singulières sont dues aux éléments suivants : entrée de la crépine (K=0.5), un coude à 90° (K=0.9), une vanne entièrement ouverte (K=0.2), et la sortie dans le réservoir (K=1.0).

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'écoulement dans la conduite en m/s.
  2. Calculer le nombre de Reynolds et déterminer la nature de l'écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent).
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) (lambda) en utilisant une formule appropriée comme celle de Swamee-Jain.
  4. Calculer la valeur totale des pertes de charge linéaires (régulières) \(J_{\text{lin}}\).
  5. Calculer la valeur totale des pertes de charge singulières \(J_{\text{sing}}\).
  6. En déduire la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir.

Les bases sur l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, le principe fondamental est le théorème de Bernoulli généralisé. Il exprime la conservation de l'énergie pour un fluide réel en mouvement entre deux points A et B d'une ligne de courant.

1. Théorème de Bernoulli généralisé
Il inclut l'énergie apportée par une machine (pompe) et l'énergie dissipée par les pertes de charge : \[ \frac{P_A}{\rho g} + Z_A + \frac{V_A^2}{2g} + H_{\text{pompe}} = \frac{P_B}{\rho g} + Z_B + \frac{V_B^2}{2g} + \sum J \] Où \(H_{\text{pompe}}\) est la HMT et \(\sum J\) est la somme des pertes de charge totales (\(J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}}\)).

2. Pertes de Charge
- Linéaires (ou régulières) : dues au frottement du fluide sur la longueur de la conduite. On les calcule avec la formule de Darcy-Weisbach : \( J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \).
- Singulières : dues aux accidents de parcours (coudes, vannes, changements de section...). On les calcule avec : \( J_{\text{sing}} = \sum K \frac{V^2}{2g} \).

Correction : Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Question 1 : Calculer la vitesse de l'écoulement

Principe (le concept physique)

La vitesse du fluide dans une conduite est directement liée au débit qui la traverse et à la section de passage. C'est l'application directe du principe de conservation de la masse : pour un fluide incompressible comme l'eau, le volume qui entre dans un segment de tuyau pendant un certain temps doit être le même que celui qui en sort.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation fondamentale qui lie ces trois grandeurs est \(Q_v = A \times V\). \(Q_v\) est le débit volumique (en \(\text{m}^3/\text{s}\)), A est l'aire de la section transversale de la conduite (en \(\text{m}^2\)), et V est la vitesse moyenne de l'écoulement (en m/s). Pour une conduite circulaire, l'aire est calculée par \(A = \pi \times R^2\) ou \(A = \pi \times D^2 / 4\). La vitesse est dite "moyenne" car, en réalité, le profil de vitesse n'est pas uniforme sur la section : la vitesse est nulle sur les parois et maximale au centre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'erreur la plus fréquente dans ce type de calcul n'est pas dans la formule elle-même, mais dans la gestion des unités. Prenez toujours l'habitude de convertir systématiquement toutes vos données dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes...) AVANT de commencer le moindre calcul. Cela vous évitera 90% des erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la vitesse en soi est une loi physique fondamentale. Cependant, de nombreuses normes (comme les DTU - Documents Techniques Unifiés en France) imposent des plages de vitesses à respecter dans les canalisations pour éviter les problèmes de bruit (si trop élevée), de sédimentation (si trop faible) ou de coup de bélier.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la vitesse

\[ V = \frac{Q_v}{A} = \frac{Q_v}{\pi \frac{D^2}{4}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • L'écoulement se fait en "pleine section", c'est-à-dire que le tuyau est entièrement rempli d'eau.
  • L'eau est considérée comme un fluide incompressible (sa masse volumique ne varie pas).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q_v\)50\(\text{m}^3/\text{h}\)
Diamètre intérieur\(D\)150\(\text{mm}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour convertir rapidement des \(\text{m}^3/\text{h}\) en \(\text{m}^3/\text{s}\), il suffit de diviser par 3600. Pour retenir ce chiffre, pensez qu'il y a 60 minutes dans une heure et 60 secondes dans une minute, donc \(60 \times 60 = 3600\).

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite
DV
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit volumique (Qv)

\[ \begin{aligned} Q_v &= 50 \ \frac{\text{m}^3}{\text{h}} = \frac{50}{3600} \ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \\ &\approx 0.01389 \ \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre (D)

\[ D = 150 \ \text{mm} = 0.15 \ \text{m} \]

Calcul de la vitesse (V)

\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.01389}{\pi \times \frac{(0.15)^2}{4}} \\ &= \frac{0.01389}{0.01767} \\ &\approx 0.786 \ \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du résultat
V ≈ 0.79 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 0.79 m/s est une valeur tout à fait classique et raisonnable pour une conduite de refoulement de ce diamètre. Les vitesses recommandées se situent généralement entre 0.5 et 1.5 m/s.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de l'aire (\(A = \pi D^2 / 4\)). Une autre erreur courante est de diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon mais d'oublier de mettre ce dernier au carré (\(A = \pi R^2\)).

Points à retenir (maîtriser la question)

Pour maîtriser ce point, retenez simplement que le débit est le produit de la vitesse par la section : \(Q=V \times S\). C'est une des relations les plus fondamentales de l'hydraulique. Tout le reste n'est que conversion d'unités et calcul de l'aire d'un cercle.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les fleuves, la vitesse de l'eau est très variable. Alors que la vitesse moyenne de la Seine à Paris est d'environ 0.7 m/s (similaire à notre tuyau !), le fleuve Congo peut atteindre des vitesses de plus de 10 m/s lors des crues, créant des rapides parmi les plus puissants du monde.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on une vitesse moyenne et non la vitesse maximale au centre ?

Car le débit, qui est une grandeur globale, dépend du flux total qui traverse la section. Mathématiquement, le débit est l'intégrale du profil de vitesse sur toute la surface. La vitesse moyenne est justement définie comme la vitesse uniforme qui donnerait le même débit. Elle simplifie énormément les calculs.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse de l'écoulement dans la conduite est d'environ 0.79 m/s.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Pour vous entraîner, recalculez la vitesse si le débit passait à 75 m³/h dans la même conduite.

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds et déterminer le régime

Principe (le concept physique)

Le nombre de Reynolds est un outil puissant qui permet de prédire le comportement d'un fluide. Il compare les forces d'inertie (qui tendent à maintenir le fluide en mouvement) aux forces de viscosité (qui tendent à freiner le fluide par frottement interne). Le ratio entre ces deux forces détermine si l'écoulement sera ordonné (laminaire) ou chaotique (turbulent).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Osborne Reynolds a montré en 1883, via des expériences de visualisation avec des colorants, que le passage d'un régime d'écoulement à un autre ne dépendait que d'un seul groupement adimensionnel. En dessous d'une valeur critique (environ 2000 pour les tuyaux), les perturbations sont amorties par la viscosité : le régime est laminaire. Au-dessus d'une autre valeur (environ 4000), les forces d'inertie sont trop fortes, les perturbations s'amplifient et l'écoulement devient turbulent, caractérisé par des tourbillons et un mélange intense.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans la quasi-totalité des applications pratiques en hydraulique pour le bâtiment ou les travaux publics (adduction d'eau, chauffage, etc.), l'écoulement est turbulent. Un écoulement laminaire est très rare et ne se rencontre que pour des fluides très visqueux (huiles) ou des vitesses très faibles.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de calcul des pertes de charge (question suivante) dépendent directement du régime d'écoulement. Les normes et codes de calcul, comme l'Eurocode, précisent donc toujours des formules différentes pour le régime laminaire et le régime turbulent. Le calcul du nombre de Reynolds est donc une étape préliminaire obligatoire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \times D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les propriétés du fluide (ici la viscosité cinématique de l'eau) sont considérées comme constantes sur tout le circuit.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse\(V\)0.786\(\text{m/s}\)
Diamètre intérieur\(D\)0.15\(\text{m}\)
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.307 \times 10^{-6}\)\(\text{m}^2/\text{s}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque la plupart des cas sont turbulents, si vous obtenez un Reynolds inférieur à 2000 pour une application standard de plomberie ou d'adduction d'eau, il y a de fortes chances qu'une erreur d'unité se soit glissée dans votre calcul (souvent un diamètre en mm au lieu de m).

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
Laminaire (Re < 2000)Turbulent (Re > 4000)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du nombre de Reynolds

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{0.786 \times 0.15}{1.307 \times 10^{-6}} \\ &= \frac{0.1179}{1.307 \times 10^{-6}} \\ &\approx 90222 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement du régime d'écoulement
Laminaire< 2000Transitoire4000TurbulentRe ≈ 90 222
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de 90222 est très supérieure à 4000. Cela confirme que l'écoulement est pleinement turbulent. Dans ce régime, le mélange est intense, le profil de vitesse est plus "aplati" que le profil parabolique du régime laminaire, et les pertes de charge dues au frottement sont significatives et dépendent de la rugosité de la paroi.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que toutes les grandeurs (V, D, \(\nu\)) sont bien dans le Système International avant le calcul. Le Reynolds est un nombre sans dimension, donc si vous obtenez une unité à la fin, c'est qu'il y a une erreur.

Points à retenir (maîtriser la question)

Pour maîtriser ce point, retenez la formule \(Re = VD/\nu\) et les seuils de 2000 et 4000. Comprenez que le Reynolds est le "juge" qui décide quelles formules de pertes de charge vous aurez le droit d'utiliser par la suite.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept du nombre de Reynolds est utilisé bien au-delà de l'hydraulique ! En aéronautique, il permet de caractériser l'écoulement de l'air sur une aile d'avion. En biologie, il aide à comprendre comment les micro-organismes nagent dans l'eau.

FAQ (pour lever les doutes)
La viscosité de l'eau change-t-elle beaucoup avec la température ?

Oui, de manière significative. L'eau à 5°C est environ 30% plus visqueuse que l'eau à 20°C. C'est pourquoi il est toujours important de connaître la température du fluide pour un calcul précis du nombre de Reynolds, surtout pour des écoulements proches de la zone de transition.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nombre de Reynolds est d'environ 90222. L'écoulement est donc turbulent.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

L'écoulement d'une huile (viscosité \(\nu = 1 \times 10^{-4} \text{m}^2/\text{s}\)) à 0.5 m/s dans la même conduite serait-il turbulent ? Calculez son nombre de Reynolds.

Question 3 : Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\)

Principe (le concept physique)

Le coefficient \(\lambda\) (lambda), aussi appelé facteur de friction de Darcy, est un nombre sans dimension qui quantifie le frottement du fluide contre les parois de la conduite. Pour un écoulement turbulent dans une conduite non lisse, ce frottement dépend de l'intensité de la turbulence (liée au Reynolds) et de la taille des aspérités de la paroi (la rugosité).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La détermination de \(\lambda\) est un point central en hydraulique. L'outil de référence est l'abaque de Moody, qui est une représentation graphique de l'équation de Colebrook-White. Cette équation étant implicite (on ne peut pas isoler \(\lambda\)), son utilisation directe est complexe. Pour faciliter les calculs, des formules explicites approchées ont été développées. La formule de Swamee-Jain est l'une des plus précises et des plus utilisées pour le régime turbulent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne vous laissez pas impressionner par la complexité apparente de la formule. Sa structure est logique : elle combine l'effet de la rugosité (terme \(\varepsilon/D\)) et l'effet de la turbulence (terme avec \(Re\)). Prenez le temps de la décomposer et de calculer chaque terme séparément pour éviter les erreurs de saisie sur la calculatrice.

Normes (la référence réglementaire)

La plupart des manuels de mécanique des fluides et des normes techniques se réfèrent à l'équation de Colebrook-White comme base de calcul pour les écoulements turbulents. Les formules explicites comme celle de Swamee-Jain sont considérées comme des alternatives valides et très précises dans la plage de validité spécifiée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Swamee-Jain

\[ \lambda = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • La rugosité \(\varepsilon\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite.
  • Le diamètre \(D\) de la conduite est constant.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité\(\varepsilon\)0.26\(\text{mm}\)
Diamètre\(D\)150\(\text{mm}\)
Nombre de Reynolds\(Re\)90222-
Astuces (Pour aller plus vite)

Le terme \(\varepsilon/D\) s'appelle la rugosité relative. C'est une grandeur essentielle. Assurez-vous de calculer ce ratio avec \(\varepsilon\) et \(D\) dans la même unité (en mètres ou en millimètres) pour obtenir une valeur sans dimension correcte.

Schéma (Avant les calculs)
Influence de la rugosité sur l'écoulement
Paroi lisseSous-couche laminaireParoi rugueuse (ε)Turbulences jusqu'à la paroi

La rugosité perturbe la sous-couche laminaire près de la paroi, augmentant le frottement.

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la rugosité relative (\(\varepsilon/D\))

\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon}{D} &= \frac{0.26 \ \text{mm}}{150 \ \text{mm}} \\ &\approx 0.001733 \end{aligned} \]

Calcul du coefficient de perte de charge (\(\lambda\))

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{0.001733}{3.7} + \frac{5.74}{90222^{0.9}} \right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( 0.0004684 + \frac{5.74}{30541} \right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( 0.0004684 + 0.000188 \right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( 0.0006564 \right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{(-3.1828)^2} \\ &\approx 0.0247 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement sur l'Abaque de Moody (simplifié)
Nombre de Reynolds (Re)Facteur de friction (λ)ε/DNotre PointRe ≈ 9x10⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(\lambda\) de 0.0247 est typique pour des conduites en fonte avec un écoulement d'eau turbulent. Pour une conduite parfaitement lisse (en PVC par exemple, \(\varepsilon \approx 0.0015\) mm), le \(\lambda\) aurait été plus faible, et donc les pertes de charge aussi.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\) ou LOG sur la calculatrice) et non le logarithme népérien (ln). C'est une source d'erreur très fréquente. Vérifiez également les puissances dans la formule.

Points à retenir (maîtriser la question)

Pour maîtriser ce point, comprenez que \(\lambda\) est la "carte d'identité" du frottement dans votre tuyau. Il dépend de la vitesse (via Re) et de l'état de surface du tuyau (via \(\varepsilon/D\)). Sa détermination est une étape clé avant de pouvoir quantifier les pertes d'énergie.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Avec le temps, les conduites métalliques s'entartrent ou se corrodent, ce qui augmente leur rugosité \(\varepsilon\). Une conduite conçue avec un certain \(\lambda\) peut donc voir ses pertes de charge augmenter significativement après 20 ou 30 ans de service, réduisant le débit que la pompe peut fournir.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il autant de formules différentes pour calculer \(\lambda\) ?

Parce que l'équation de base (Colebrook-White) est implicite et difficile à résoudre sans ordinateur. Historiquement, de nombreux chercheurs ont donc proposé des formules explicites plus simples, chacune étant plus ou moins précise dans certaines plages de Reynolds et de rugosité. Aujourd'hui, avec les solveurs informatiques, on peut utiliser directement Colebrook, mais les approximations comme Swamee-Jain restent très pratiques pour des calculs rapides.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) est d'environ 0.0247.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si l'on utilisait une conduite en PVC neuve (\(\varepsilon = 0.0015\) mm), quelle serait la nouvelle valeur de \(\lambda\) (garder \(Re=90222\)) ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge linéaires \(J_{\text{lin}}\)

Principe (le concept physique)

Les pertes de charge linéaires (ou régulières) représentent l'énergie dissipée par le frottement du fluide contre les parois de la conduite, sur toute sa longueur. Cette énergie est transformée en chaleur. C'est comme une force de freinage qui s'oppose à l'écoulement. Plus la conduite est longue et rugueuse, et plus le fluide va vite, plus cette perte d'énergie est importante.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie cinétique du fluide est proportionnelle au carré de sa vitesse (\(E_c \propto V^2\)). Les pertes par frottement sont une fraction de cette énergie. Le coefficient \(\lambda\) représente cette fraction perdue par unité de longueur relative (\(L/D\)). La formule de Darcy-Weisbach combine tous ces éléments pour exprimer la perte d'énergie en "mètres de colonne de fluide", une unité pratique en hydraulique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Observez bien la formule : les pertes de charge varient avec le carré de la vitesse. Cela signifie que si vous doublez le débit (et donc la vitesse), vous ne doublez pas les pertes de charge, vous les multipliez par quatre ! C'est une relation non linéaire fondamentale à comprendre pour le dimensionnement des réseaux.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Darcy-Weisbach est universellement reconnue et est la base de tous les codes de calcul modernes pour les pertes de charge en régime turbulent établi.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le régime d'écoulement est établi et permanent.
  • Le coefficient \(\lambda\) est constant sur toute la longueur de la conduite.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient lambda\(\lambda\)0.0247-
Longueur conduite\(L\)200\(\text{m}\)
Diamètre conduite\(D\)0.15\(\text{m}\)
Vitesse\(V\)0.786\(\text{m/s}\)
Gravité\(g\)9.81\(\text{m}/\text{s}^2\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Le terme \(V^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique". Calculez-le une bonne fois pour toutes, car il sera réutilisé pour le calcul des pertes de charge singulières à la question suivante. Mettez-le en mémoire dans votre calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des pertes de charge
Ligne de charge (énergie totale)HAHBJlin

La ligne d'énergie décroît le long de la conduite à cause des pertes de charge.

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul des pertes de charge linéaires

\[ \begin{aligned} J_{\text{lin}} &= 0.0247 \times \frac{200}{0.15} \times \frac{(0.786)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 32.93 \times 0.0315 \\ &\approx 1.037 \ \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du résultat
Ligne de charge (énergie totale)HAHBJlin ≈ 1.04 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une perte de 1.04 m sur 200 m de conduite est relativement faible. Cela signifie que la conduite est bien dimensionnée pour ce débit. Si nous avions choisi un diamètre plus petit, la vitesse aurait été plus élevée et les pertes de charge auraient augmenté de façon exponentielle, ce qui aurait nécessité une pompe beaucoup plus puissante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez aucun terme dans la formule. L'erreur la plus commune est d'oublier de diviser par le diamètre \(D\) ou de ne pas mettre la vitesse au carré \(V^2\).

Points à retenir (maîtriser la question)

Retenez que les pertes linéaires dépendent de 4 facteurs : la rugosité et la turbulence (\(\lambda\)), la longueur (\(L\)), le diamètre (\(D\)), et la vitesse (\(V\)). C'est la principale source de "freinage" dans les longues conduites.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les oléoducs qui transportent le pétrole sur des milliers de kilomètres sont confrontés à d'énormes pertes de charge linéaires. Pour les compenser, des stations de pompage sont installées à intervalles réguliers (tous les 50 à 100 km) pour "rebooster" l'énergie du fluide et maintenir l'écoulement.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle aussi valable pour l'air ou d'autres gaz ?

Oui, mais avec une précaution majeure. La formule de Darcy-Weisbach suppose une masse volumique \(\rho\) constante. Elle est donc directement applicable aux gaz seulement si les variations de pression (et donc de masse volumique) le long de la conduite sont faibles. Pour de fortes variations, il faut utiliser des formules plus complexes pour les écoulements compressibles.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge linéaires s'élèvent à environ 1.04 m.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si la conduite faisait 400 m de long au lieu de 200 m, quelle serait la nouvelle valeur des pertes de charge linéaires ?

Question 5 : Calculer les pertes de charge singulières \(J_{\text{sing}}\)

Principe (le concept physique)

Les pertes de charge singulières représentent l'énergie dissipée par les turbulences intenses créées à chaque fois que la géométrie de l'écoulement est modifiée : un coude, un élargissement, une vanne, une entrée dans un réservoir... Ces "accidents" obligent le fluide à changer brusquement de direction ou de vitesse, ce qui génère des tourbillons dissipateurs d'énergie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Chaque singularité est caractérisée par un coefficient de perte de charge K, qui est un nombre sans dimension. Ce coefficient dépend uniquement de la géométrie de l'obstacle et non de la rugosité de la paroi. Les valeurs de K sont déterminées expérimentalement et sont disponibles dans des abaques et manuels d'hydraulique. Pour un circuit complet, on peut sommer les coefficients K de toutes les singularités pour calculer la perte de charge totale qu'elles engendrent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans les circuits courts et complexes avec de nombreux appareils (comme une chaufferie), les pertes de charge singulières peuvent devenir prépondérantes par rapport aux pertes linéaires. Dans les longues conduites d'adduction d'eau, c'est l'inverse. Il est donc crucial d'évaluer l'importance relative des deux types de pertes pour chaque cas.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes et la littérature technique (par exemple, les publications du CIBSE ou de l'ASHRAE) fournissent des tables de valeurs pour les coefficients K pour une très grande variété d'accessoires de tuyauterie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule des pertes de charge singulières

\[ J_{\text{sing}} = \left(\sum K\right) \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les coefficients K fournis par les fabricants ou les tables sont corrects.
  • Les singularités sont suffisamment espacées pour ne pas interagir entre elles (en général, quelques dizaines de diamètres).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Somme des coefficients\(\sum K\)2.6-
Vitesse\(V\)0.786\(\text{m/s}\)
Gravité\(g\)9.81\(\text{m}/\text{s}^2\)
Astuces (Pour aller plus vite)

Comme mentionné précédemment, réutilisez la valeur de la hauteur dynamique \(V^2/(2g)\) que vous aviez déjà calculée pour les pertes de charge linéaires. Le calcul devient alors une simple multiplication.

Schéma (Avant les calculs)
Exemples de singularités
Coude à 90°K ≈ 0.9VanneK ≈ 0.2
Calcul(s) (l'application numérique)

Somme des coefficients de pertes singulières

\[ \begin{aligned} \sum K &= K_{\text{entrée}} + K_{\text{coude}} + K_{\text{vanne}} + K_{\text{sortie}} \\ &= 0.5 + 0.9 + 0.2 + 1.0 \\ &= 2.6 \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge singulières

\[ \begin{aligned} J_{\text{sing}} &= 2.6 \times \frac{(0.786)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 2.6 \times 0.0315 \\ &\approx 0.082 \ \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des pertes de charge singulières
Ligne de charge avec singularitésHinitialeCrépine(K=0.5)Coude(K=0.9)Vanne(K=0.2)Sortie(K=1.0)

Chaque singularité provoque une "chute" brutale de la ligne d'énergie.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte de 0.08 m est très faible comparée au dénivelé de 25 m. Cela montre que dans notre cas, l'énergie est principalement dépensée pour monter l'eau, et non pour vaincre les accidents du parcours. Si le circuit avait comporté 10 coudes et 5 vannes, ce résultat aurait été bien différent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez aucune singularité du circuit lors de la somme des coefficients K. Une vanne ou un clapet anti-retour oublié peut modifier significativement le résultat final.

Points à retenir (maîtriser la question)

Retenez que chaque obstacle a un "prix" énergétique, quantifié par son coefficient K. La perte d'énergie totale due à ces obstacles est simplement la somme de ces prix, multipliée par l'énergie cinétique du fluide (\(V^2/2g\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les concepteurs de circuits hydrauliques cherchent à minimiser le nombre de singularités, en particulier les coudes brusques. C'est pourquoi on préfère utiliser des coudes à grand rayon plutôt que des coudes à 90° vifs, car leur coefficient K est beaucoup plus faible, ce qui économise de l'énergie de pompage.

FAQ (pour lever les doutes)
Le coefficient K d'une vanne est-il toujours le même ?

Non. La valeur de K dépend énormément du type de vanne (à papillon, à opercule, à boisseau sphérique...) et de son degré d'ouverture. Une vanne à moitié fermée peut avoir un K des dizaines de fois plus élevé que lorsqu'elle est complètement ouverte, car elle crée une obstruction bien plus importante.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge singulières s'élèvent à environ 0.08 m.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si l'on ajoutait un clapet anti-retour (K = 2.0) sur le circuit, quelle serait la nouvelle valeur des pertes de charge singulières ?

Question 6 : Calculer la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Principe (le concept physique)

La Hauteur Manométrique Totale est la somme de toutes les "difficultés" que la pompe doit vaincre. Elle doit : 1) soulever l'eau sur la hauteur géométrique (charge statique), 2) compenser l'énergie perdue par frottement le long des tuyaux (pertes linéaires), et 3) compenser l'énergie perdue dans les accidents de parcours (pertes singulières). C'est l'énergie totale que la pompe doit injecter dans chaque kilogramme d'eau pour qu'il arrive à destination.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La HMT découle directement de l'application du théorème de Bernoulli entre la surface du réservoir d'aspiration (A) et celle du réservoir de refoulement (B). En simplifiant les termes de pression (pression atmosphérique des deux côtés) et de vitesse (vitesse nulle dans de grands réservoirs), le terme d'énergie de la pompe (\(H_{\text{pompe}}\)) devient égal à la somme du dénivelé (\(Z_B - Z_A\)) et de toutes les pertes de charge (\(\sum J\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Comprenez bien la composition de la HMT. La partie "statique" (\(\Delta Z\)) ne dépend pas du débit. Que vous pompiez 1 litre/h ou 100 m³/h, il faudra toujours vaincre les 25 m de dénivelé. La partie "dynamique" (\(J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}}\)) dépend du carré du débit. C'est elle qui forme la "courbe de réseau" que l'on voit sur le simulateur.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la HMT est une étape standardisée dans toutes les méthodologies de dimensionnement de stations de pompage, qu'elles soient issues de normes nationales, internationales ou de guides de bonnes pratiques professionnels.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la HMT

\[ HMT = H_{\text{géo}} + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} = (Z_B - Z_A) + \sum J \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Les surfaces des réservoirs A et B sont à la pression atmosphérique.
  • Les vitesses de surface dans les réservoirs A et B sont négligeables.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé géométrique\(\Delta Z\)25\(\text{m}\)
Pertes linéaires\(J_{\text{lin}}\)1.04\(\text{m}\)
Pertes singulières\(J_{\text{sing}}\)0.08\(\text{m}\)
Astuces (Pour aller plus vite)

La HMT est une simple addition des résultats que vous avez mis tant d'efforts à calculer dans les questions précédentes. L'organisation est la clé : si chaque étape a été menée rigoureusement, celle-ci est la plus facile !

Schéma (Avant les calculs)
Composition de la HMT
ΔZ = 25mJlin = 1.04mJsingHMT
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale

\[ \begin{aligned} HMT &= (Z_B - Z_A) + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \\ &= 25 \ \text{m} + 1.04 \ \text{m} + 0.08 \ \text{m} \\ &= 26.12 \ \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composition du résultat de la HMT
ΔZ = 25mJlin = 1.04mJsing = 0.08mHMT = 26.12 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La HMT de 26.12 m est l'information cruciale pour l'ingénieur. Il va maintenant chercher dans un catalogue de pompes un modèle qui, pour un débit de 50 m³/h, peut fournir une hauteur d'au moins 26.12 m. Ce couple (Débit, HMT) est appelé le point de fonctionnement du système.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier les pertes de charge ! Une erreur fréquente de débutant est de ne considérer que la hauteur géométrique. Dans notre cas, cela aurait mené à sous-dimensionner la pompe, qui n'aurait jamais pu fournir le débit désiré.

Points à retenir (maîtriser la question)

La HMT est la somme de la charge statique (la hauteur à grimper) et de la charge dynamique (les frottements). \(HMT = H_{\text{statique}} + H_{\text{dynamique}}\). C'est le concept le plus important à retenir.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les pompes les plus puissantes du monde se trouvent dans les "STEP" (Stations de Transfert d'Énergie par Pompage). La nuit, quand l'électricité est bon marché, elles pompent d'énormes volumes d'eau vers un réservoir en altitude (HMT de plusieurs centaines de mètres). Le jour, aux heures de pointe, l'eau est relâchée à travers des turbines pour produire de l'électricité, agissant comme une gigantesque batterie hydraulique.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la pompe est surdimensionnée (HMT beaucoup plus grande que nécessaire) ?

Si la pompe est trop puissante, elle va fournir un débit supérieur à celui prévu. Cela peut causer des vitesses excessives dans les tuyaux, du bruit, de l'érosion et surtout, une consommation électrique inutilement élevée. Il est donc aussi important de ne pas surdimensionner que de ne pas sous-dimensionner.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir est de 26.12 m.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

En utilisant les résultats des questions précédentes, quelle serait la HMT si le dénivelé géométrique était de 35 m au lieu de 25 m ?

Outil Interactif : Simulateur de HMT

Utilisez cet outil pour voir comment la Hauteur Manométrique Totale (HMT) évolue en fonction du débit et de la longueur de la conduite. Observez comment la courbe caractéristique du réseau (HMT vs Débit) change.

Paramètres d'Entrée
50 m³/h
200 m
Résultats Clés
Vitesse (m/s) -
Pertes Linéaires (m) -
Pertes Singulières (m) -
HMT (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente principalement la Hauteur Manométrique Totale (HMT) ?

2. Si le nombre de Reynolds est très élevé (> 100 000), l'écoulement est considéré comme...

3. Les pertes de charge linéaires dans une conduite sont principalement causées par :

4. Si on double le débit dans une conduite (en régime turbulent), comment évoluent approximativement les pertes de charge ?

5. Le coefficient de pertes de charge singulières 'K' est :

Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale que la pompe doit fournir au fluide par unité de poids pour vaincre les différences d'altitude, de pression et les pertes de charge du circuit. Elle est exprimée en mètres de colonne de fluide (mCL).
Pertes de Charge
Perte d'énergie subie par un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires ou régulières) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement (laminaire ou turbulent) en comparant les forces d'inertie aux forces de viscosité.
Exercice - Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

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