ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Comprendre l'Écoulement Gravitaire entre Deux Réservoirs

Lorsqu'une conduite relie deux réservoirs ouverts à l'atmosphère et situés à des altitudes différentes, le fluide s'écoule naturellement du réservoir le plus élevé vers le plus bas. La force motrice de cet écoulement est la gravité, représentée par la différence d'altitude (\(\Delta z\)). Cependant, l'énergie potentielle disponible n'est pas entièrement convertie en énergie cinétique ; une partie est dissipée par les frottements du fluide contre les parois de la conduite (pertes de charge linéaires) et par les obstacles comme les entrées et sorties (pertes de charge singulières). Le calcul du débit réel nécessite donc d'équilibrer l'énergie potentielle disponible avec l'ensemble de ces pertes d'énergie.

Données de l'étude

On veut calculer le débit d'eau transitant dans une conduite en PVC reliant deux grands réservoirs à surface libre.

Caractéristiques de l'installation :

  • Altitude du réservoir amont : \(z_1 = 120 \, \text{m}\)
  • Altitude du réservoir aval : \(z_2 = 100 \, \text{m}\)
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(800 \, \text{m}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(300 \, \text{mm}\)
  • Matériau de la conduite : PVC (rugosité absolue \(\epsilon = 0.0015 \, \text{mm}\))
  • Pertes de charge singulières : entrée (\(K_e = 0.5\)), sortie (\(K_s = 1.0\))
  • Fluide : Eau (viscosité cinématique \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Écoulement Gravitaire entre Deux Réservoirs
Point 1 Point 2 z1=120m z2=100m z=0

L'écoulement est dicté par la différence de charge hydraulique entre les deux réservoirs.

Questions à traiter

  1. Poser l'équation de Bernoulli généralisée entre les surfaces libres des deux réservoirs (points 1 et 2).
  2. Exprimer la perte de charge totale (\(\Delta H\)) en fonction de la vitesse \(v\), en incluant les pertes linéaires et singulières.
  3. Calculer la vitesse d'écoulement (\(v\)) et le débit (\(Q\)) par une méthode itérative.

Correction : Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Question 1 : Équation de Bernoulli Généralisée

Principe :

On applique le théorème de Bernoulli entre les deux surfaces libres car la pression y est connue (pression atmosphérique) et les vitesses y sont supposées nulles. La différence d'énergie potentielle entre les deux points est entièrement dissipée par les pertes de charge totales dans la conduite.

Formule et Simplification :

L'équation de base est : \( \frac{P_1}{\rho g} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \Delta H \)

Avec les hypothèses \(P_1 = P_2 = P_{\text{atm}}\) et \(v_1 \approx v_2 \approx 0\) (grands réservoirs), l'équation se simplifie radicalement :

\[ z_1 = z_2 + \Delta H \Rightarrow \Delta H = z_1 - z_2 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H &= 120 \, \text{m} - 100 \, \text{m} \\ &= 20 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'énergie disponible pour vaincre les pertes de charge est de \(20 \, \text{m}\) de colonne d'eau.

Question 2 : Expression de la Perte de Charge Totale

Principe :

La perte de charge totale (\(\Delta H\)) est la somme des pertes de charge linéaires (dues au frottement sur la longueur \(L\)) et des pertes de charge singulières (dues aux accidents comme l'entrée et la sortie). Elles s'expriment toutes en fonction du carré de la vitesse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = \Delta H_{\text{linéaire}} + \Delta H_{\text{singulière}} = \left(f \frac{L}{D} + \sum K\right) \frac{v^2}{2g} \]

Où \(\sum K = K_e + K_s\)

Application :
\[ \begin{aligned} \sum K &= 0.5 + 1.0 = 1.5 \\ \Delta H &= \left(f \frac{800 \, \text{m}}{0.3 \, \text{m}} + 1.5\right) \frac{v^2}{2 \times 9.81} \end{aligned} \]

En combinant avec le résultat de la question 1 :

\[ 20 = \left(f \cdot 2666.7 + 1.5\right) \frac{v^2}{19.62} \]
Résultat Question 2 : L'équation liant la vitesse et le coefficient de frottement est \(20 = (2666.7 f + 1.5) \frac{v^2}{19.62}\).

Question 3 : Calcul Itératif de la Vitesse (\(v\)) et du Débit (\(Q\))

Principe :

La vitesse \(v\) et le coefficient \(f\) sont interdépendants. On ne peut pas les résoudre directement. On doit donc procéder par itérations : on suppose une valeur de \(f\), on calcule \(v\), on recalcule \(f\) avec cette nouvelle vitesse, et on répète jusqu'à ce que la valeur de \(f\) se stabilise.

Calcul :

Itération 1 : On suppose \(f = 0.015\) (valeur courante pour du PVC).

\[ \begin{aligned} 20 &= (2666.7 \times 0.015 + 1.5) \frac{v^2}{19.62} = (40 + 1.5) \frac{v^2}{19.62} \\ v^2 &= \frac{20 \times 19.62}{41.5} \approx 9.45 \\ v &\approx 3.07 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

On recalcule \(f\) avec \(v = 3.07 \, \text{m/s}\) :

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{3.07 \times 0.3}{1.0 \times 10^{-6}} = 921,000 \\ \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.0000015}{0.3} = 0.000005 \\ \frac{1}{\sqrt{f}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.000005}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{921000}\right] \approx 8.78 \\ f &\approx 0.0130 \end{aligned} \]

Itération 2 : La nouvelle valeur de \(f\) (0.0130) est différente de celle supposée (0.015). On recommence avec \(f = 0.0130\).

\[ \begin{aligned} v^2 &= \frac{20 \times 19.62}{2666.7 \times 0.0130 + 1.5} = \frac{392.4}{34.67 + 1.5} \approx 10.86 \\ v &\approx 3.29 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

On recalcule \(f\) avec \(v = 3.29 \, \text{m/s}\) :

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{3.29 \times 0.3}{1.0 \times 10^{-6}} = 987,000 \\ \frac{1}{\sqrt{f}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.000005}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{987000}\right] \approx 8.81 \\ f &\approx 0.0129 \end{aligned} \]

La valeur de \(f \approx 0.0129\) est très proche de la précédente (0.0130). On peut donc arrêter l'itération et adopter \(v \approx 3.29 \, \text{m/s}\).

Calcul du Débit Final (\(Q\)) :

\[ \begin{aligned} Q &= A \cdot v = \pi \frac{(0.3)^2}{4} \times 3.29 \\ &= 0.0707 \, \text{m}^2 \times 3.29 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.233 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse d'écoulement est \(v \approx 3.29 \, \text{m/s}\) et le débit est \(Q \approx 0.233 \, \text{m}^3/\text{s}\) (soit 839 m³/h).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force motrice principale dans un écoulement gravitaire entre deux réservoirs est :

2. Le calcul du débit dans cet exercice est itératif parce que :

3. Si la conduite était plus rugueuse, le débit final pour la même différence de hauteur serait :

Glossaire

Écoulement Gravitaire
Mouvement d'un fluide induit uniquement par l'action de la gravité, généralement dû à une différence d'altitude entre le point de départ et le point d'arrivée.
Bernoulli Généralisée
Extension du théorème de Bernoulli qui prend en compte les pertes d'énergie (pertes de charge) dues aux frottements et aux singularités dans un écoulement réel.
Perte de Charge Singulière
Perte d'énergie localisée, causée par une perturbation de l'écoulement (coude, vanne, élargissement, rétrécissement, entrée, sortie).
Méthode Itérative
Processus de calcul où une solution est approchée par répétitions successives. On commence avec une estimation, on affine le résultat, et on répète le processus jusqu'à ce que la solution converge vers une valeur stable.
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