ÉTUDE HYDRAULIQUE

Dimensionnement d’une Conduite d’Adduction d’Eau

Dimensionnement d'une Conduite d'Adduction d'Eau

Dimensionnement d'une Conduite d'Adduction d'Eau

Comprendre le Dimensionnement des Conduites

Le dimensionnement d'une conduite en charge consiste à déterminer le diamètre de tuyau adéquat pour transporter un débit donné d'un point A à un point B, tout en respectant des contraintes de pression et de vitesse. Un diamètre trop petit entraîne une vitesse élevée et des pertes de charge importantes (perte d'énergie due aux frottements), ce qui peut ne pas garantir la pression requise à l'arrivée. Un diamètre trop grand est économiquement coûteux. L'objectif est donc de trouver le meilleur compromis en utilisant l'équation de Bernoulli généralisée, qui inclut les pertes de charge calculées via des formules comme celle de Darcy-Weisbach.

Données de l'étude

On doit concevoir une conduite d'adduction d'eau entre un château d'eau (Point A) et l'entrée d'un quartier résidentiel (Point B).

Caractéristiques et contraintes :

  • Débit requis (\(Q\)) : \(150 \, \text{m}^3/\text{h}\)
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(2500 \, \text{m}\)
  • Altitude de la surface de l'eau dans le château d'eau : \(z_A = 70 \, \text{m}\)
  • Altitude du point de livraison : \(z_B = 30 \, \text{m}\)
  • Pression minimale requise au point B : \(P_B = 2.5 \, \text{bars}\) (pression relative)
  • Matériau de la conduite : Fonte ductile neuve (rugosité absolue \(\epsilon = 0.25 \, \text{mm}\))
  • Fluide : Eau à 10°C (masse volumique \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), viscosité cinématique \(\nu = 1.31 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Adduction d'Eau par Gravité
Point A Point B L = 2500 m, Q z_A = 70 m z_B = 30 m

L'énergie potentielle due à la dénivelé doit compenser les pertes de charge et assurer la pression requise au point B.

Questions à traiter

  1. Déterminer la perte de charge maximale admissible (\(J_{\text{max}}\)) dans la conduite, exprimée en mètres de colonne d'eau par kilomètre (m/km).
  2. Vérifier si un diamètre normalisé (DN) de 250 mm est suffisant. Pour cela, calculer la vitesse d'écoulement, le nombre de Reynolds, le coefficient de perte de charge, et enfin la perte de charge réelle.
  3. Conclure sur le choix du diamètre.

Correction : Dimensionnement d'une Conduite d'Adduction d'Eau

Question 1 : Perte de Charge Maximale Admissible (\(J_{\text{max}}\))

Principe :

La perte de charge maximale est l'énergie totale que l'on peut "perdre" par frottement tout en respectant les contraintes du projet. On la calcule en appliquant l'équation de Bernoulli entre le point de départ (A) et le point d'arrivée (B). L'énergie disponible (liée à la différence d'altitude) doit être supérieure ou égale à l'énergie requise à l'arrivée (pression) plus l'énergie perdue (pertes de charge).

Formule(s) utilisée(s) :

Équation de Bernoulli généralisée : \( \frac{P_A}{\rho g} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{P_B}{\rho g} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} + \Delta H \)

En simplifiant avec les hypothèses (\(P_A=P_{\text{atm}}=0\) relatif, \(v_A \approx 0\)) et en négligeant l'énergie cinétique à l'arrivée (\(v_B^2/2g\), souvent faible), on a :

\[ z_A \geq \frac{P_B}{\rho g} + z_B + \Delta H \Rightarrow \Delta H_{\text{max}} = z_A - z_B - \frac{P_B}{\rho g} \]
Calcul :

D'abord, on calcule la hauteur de pression requise en mètres de colonne d'eau :

\[ \begin{aligned} \frac{P_B}{\rho g} &= \frac{2.5 \, \text{bars} \times 10^5 \, \text{Pa/bar}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= \frac{250000}{9810} \, \text{m} \\ &\approx 25.48 \, \text{m} \end{aligned} \]

Ensuite, la perte de charge totale maximale :

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{max}} &= (70 \, \text{m} - 30 \, \text{m}) - 25.48 \, \text{m} \\ &= 40 \, \text{m} - 25.48 \, \text{m} \\ &= 14.52 \, \text{m} \end{aligned} \]

Enfin, on exprime cette perte en m/km :

\[ J_{\text{max}} = \frac{\Delta H_{\text{max}}}{L_{\text{km}}} = \frac{14.52 \, \text{m}}{2.5 \, \text{km}} \approx 5.81 \, \text{m/km} \]
Résultat Question 1 : La perte de charge linéaire maximale admissible est d'environ \(5.81 \, \text{m/km}\).

Question 2 : Vérification pour un DN 250 mm

Principe :

On effectue un calcul itératif pour un diamètre standard donné. On calcule d'abord la vitesse du fluide pour ce diamètre, puis le nombre de Reynolds pour déterminer le régime d'écoulement. Ensuite, on calcule le coefficient de perte de charge (avec une formule comme celle de Colebrook-White ou une approximation comme celle de Haaland). Finalement, on utilise la formule de Darcy-Weisbach pour trouver la perte de charge réelle et la comparer à la valeur maximale admissible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = A \cdot v \quad Re = \frac{vD}{\nu} \quad \frac{1}{\sqrt{f}} \approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re}\right] \quad \Delta H = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}\]
Calcul pour DN 250 mm (\(D = 0.25 \, \text{m}\)) :

A. Vitesse :

\[ \begin{aligned} Q &= 150 \, \text{m}^3/\text{h} \div 3600 \, \text{s/h} \approx 0.0417 \, \text{m}^3/\text{s} \\ A &= \pi \frac{(0.25 \, \text{m})^2}{4} \approx 0.0491 \, \text{m}^2 \\ v &= \frac{Q}{A} = \frac{0.0417 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.0491 \, \text{m}^2} \approx 0.85 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

B. Reynolds et Rugosité Relative :

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{0.85 \, \text{m/s} \times 0.25 \, \text{m}}{1.31 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \approx 162,214 \\ \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.00025 \, \text{m}}{0.25 \, \text{m}} = 0.001 \end{aligned} \]

C. Coefficient de Perte de Charge (\(f\)) :

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{f}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.001}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{162214}\right] \\ &\approx -1.8 \log_{10}[0.000161 + 0.0000425] \\ &\approx -1.8 \log_{10}[0.0002035] \approx -1.8 \times (-3.69) \approx 6.64 \\ f &\approx \frac{1}{6.64^2} \approx 0.0227 \end{aligned} \]

D. Perte de Charge Réelle (\(\Delta H_{\text{calc}}\)) :

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{calc}} &= 0.0227 \times \frac{2500 \, \text{m}}{0.25 \, \text{m}} \times \frac{(0.85 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 227 \times 0.0368 \\ &\approx 8.35 \, \text{m} \end{aligned} \]

Question 3 : Conclusion sur le Choix du Diamètre

Principe :

On compare la perte de charge calculée pour le diamètre choisi (\(\Delta H_{\text{calc}}\)) avec la perte de charge maximale que le système peut tolérer (\(\Delta H_{\text{max}}\)). Si la perte de charge calculée est inférieure, le diamètre est acceptable.

Comparaison :
\[ \Delta H_{\text{calc}} \approx 8.35 \, \text{m} \quad \text{et} \quad \Delta H_{\text{max}} = 14.52 \, \text{m} \]

Puisque \(8.35 \, \text{m} < 14.52 \, \text{m}\), la condition est respectée.

Résultat Question 3 : La conduite de DN 250 mm est adéquate car elle génère une perte de charge inférieure à la perte de charge maximale admissible. Elle garantira donc une pression supérieure à 2.5 bars au point de livraison.

Quiz Intermédiaire : Si nous avions choisi un diamètre plus petit (ex: DN 200), la perte de charge calculée aurait été :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La perte de charge dans une conduite dépend principalement de :

2. Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise :

3. Pour un débit donné, si on augmente le diamètre de la conduite, la vitesse du fluide et les pertes de charge...

Glossaire

Perte de Charge (\(\Delta H\))
Perte d'énergie d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la conduite (pertes de charge linéaires) et aux accidents de parcours comme les coudes ou vannes (pertes de charge singulières). S'exprime en mètres de colonne de fluide.
Hydraulique en Charge
Étude des écoulements dans des conduites entièrement remplies, où le fluide est sous pression.
Darcy-Weisbach
Équation fondamentale permettant de calculer les pertes de charge linéaires dans une conduite, basée sur le coefficient de perte de charge \(f\).
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il permet de déterminer si un écoulement est laminaire (\(Re\) faible) ou turbulent (\(Re\) élevé).
Coefficient de Perte de Charge (\(f\))
Facteur sans dimension qui dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite. Il est utilisé dans la formule de Darcy-Weisbach.
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités à la surface intérieure d'une conduite, exprimée en unités de longueur (ex: mm).
Dimensionnement de Conduite - Exercice d'Application
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