Application du Théorème de Bernoulli
Comprendre le Théorème de Bernoulli
Le théorème de Bernoulli, issu de la conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement, est l'un des principes les plus importants de l'hydraulique. Il établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide parfait (sans viscosité) et incompressible. L'équation montre que si la vitesse d'un fluide augmente, sa pression ou son énergie potentielle doit diminuer, et vice-versa. Ce théorème est essentiel pour analyser des phénomènes comme la portance d'une aile d'avion, le fonctionnement d'un tube de Venturi, ou, comme dans cet exercice, la vitesse d'écoulement d'un fluide depuis un réservoir.
Données de l'étude
- Fluide : Eau, considérée comme parfaite et incompressible.
- Hauteur de l'eau au-dessus de l'orifice (\(h\)) : \(5 \, \text{m}\)
- Le réservoir est très large par rapport à la taille de l'orifice.
- L'écoulement se fait à l'air libre (pression atmosphérique).
- Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Vidange d'un Réservoir (Formule de Torricelli)
Application de l'équation de Bernoulli entre la surface libre (Point 1) et l'orifice de sortie (Point 2).
Questions à traiter
- Écrire l'équation de Bernoulli complète entre le point 1 (surface de l'eau) et le point 2 (orifice de sortie).
- Simplifier cette équation en appliquant les hypothèses de l'énoncé.
- Calculer la vitesse d'écoulement (\(v_2\)) à la sortie de l'orifice.
Correction : Application du Théorème de Bernoulli
Question 1 : Écriture de l'Équation de Bernoulli
Principe :
L'équation de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. Elle stipule que la somme de la charge de pression (\(P/\rho g\)), de la charge de vitesse (\(v^2/2g\)) et de la charge d'altitude (\(z\)) est constante entre deux points. Sous sa forme la plus courante, on l'écrit en termes de pression.
Formule(s) utilisée(s) :
Identification des termes :
- \(P_1, v_1, z_1\) sont la pression, la vitesse et l'altitude au Point 1.
- \(P_2, v_2, z_2\) sont la pression, la vitesse и l'altitude au Point 2.
- \(\rho\) est la masse volumique du fluide et \(g\) est l'accélération de la pesanteur.
Question 2 : Simplification de l'Équation
Principe :
On analyse les conditions spécifiques à chaque point pour simplifier l'équation. Le choix judicieux des points et des hypothèses est la clé de la résolution de problèmes avec le théorème de Bernoulli.
Analyse des conditions :
- Point 1 (Surface) : Le réservoir est ouvert à l'atmosphère, donc \(P_1 = P_{\text{atm}}\). Comme le réservoir est grand, la vitesse de descente de la surface est négligeable, donc \(v_1 \approx 0\). On fixe l'altitude à \(z_1 = h\).
- Point 2 (Orifice) : Le jet d'eau sort à l'air libre, il est donc aussi à la pression atmosphérique, d'où \(P_2 = P_{\text{atm}}\). La vitesse \(v_2\) est l'inconnue que l'on cherche. On choisit ce point comme origine des altitudes, donc \(z_2 = 0\).
Application des simplifications :
L'équation de départ :
On remplace par les valeurs et hypothèses :
Après simplification des termes nuls et des pressions atmosphériques qui s'annulent de chaque côté, il reste :
Quiz Intermédiaire 1 : Pourquoi peut-on supposer \(v_1 \approx 0\) ?
Question 3 : Calcul de la Vitesse d'Écoulement (\(v_2\))
Principe :
À partir de l'équation simplifiée, on isole la vitesse \(v_2\). On remarque que la masse volumique \(\rho\) se simplifie, ce qui signifie que la vitesse de sortie ne dépend que de la hauteur de fluide et de la gravité (formule de Torricelli).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
- \(h = 5 \, \text{m}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : Si on double la hauteur d'eau \(h\), la vitesse de sortie \(v_2\) est :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le théorème de Bernoulli est une formulation du principe de conservation de :
2. Dans l'équation de Bernoulli, le terme \(\frac{1}{2}\rho v^2\) représente :
3. Selon la formule de Torricelli (\(v = \sqrt{2gh}\)), la vitesse de sortie d'un fluide d'un réservoir ne dépend pas de :
Glossaire
- Théorème de Bernoulli
- Relation fondamentale en dynamique des fluides qui décrit la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. La somme des pressions statique, dynamique et de pesanteur reste constante.
- Pression Statique (\(P\))
- Pression "thermodynamique" du fluide, celle que l'on mesurerait en se déplaçant avec lui.
- Pression Dynamique (\(\frac{1}{2}\rho v^2\))
- Pression associée à l'énergie cinétique du fluide. Elle augmente avec le carré de la vitesse.
- Pression de Pesanteur (\(\rho g z\))
- Pression associée à l'énergie potentielle de position du fluide dans un champ de gravité. Elle augmente avec l'altitude.
- Ligne de Courant
- Trajectoire suivie par une particule de fluide dans un écoulement stationnaire.
- Formule de Torricelli
- Cas particulier du théorème de Bernoulli qui donne la vitesse d'écoulement d'un fluide depuis un orifice d'un réservoir : \(v = \sqrt{2gh}\).
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