Calcul de la Masse Volumique par Pesée Hydrostatique
Contexte : Les fondamentaux de l'hydraulique.
La détermination de la masse volumiquePropriété physique qui mesure la masse d'un matériau par unité de volume (généralement en kg/m³). est une étape cruciale dans de nombreux domaines de l'ingénierie et de la science des matériaux, notamment en hydraulique pour comprendre le comportement des objets immergés. La méthode de la pesée hydrostatique, basée sur le célèbre principe d'ArchimèdeTout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé., est une technique élégante et précise pour y parvenir. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul pour déterminer la masse volumique d'un échantillon solide inconnu.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer concrètement le principe d'Archimède pour trouver le volume d'un objet de forme complexe, puis à utiliser cette information pour calculer sa masse volumique, une compétence fondamentale en mécanique des fluides.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer le principe de la poussée d'Archimède.
- Calculer le volume d'un corps à partir de sa perte de poids apparente dans un fluide.
- Déterminer la masse volumique d'un matériau solide.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Fluide utilisé | Eau douce |
| Température de l'eau | 20 °C |
| Accélération de la pesanteur (g) | 9.81 m/s² |
Schéma du montage expérimental
| Paramètre Mesuré | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de l'échantillon dans l'air | \(m_{\text{air}}\) | 450.0 | g |
| Masse apparente de l'échantillon dans l'eau | \(m_{\text{eau}}\) | 285.0 | g |
| Masse volumique de l'eau à 20°C | \(\rho_{\text{eau}}\) | 998.2 | kg/m³ |
Questions à traiter
- Calculer la masse "perdue" (masse du volume d'eau déplacé) par l'échantillon lorsqu'il est immergé.
- En déduire le volume de l'échantillon de roche.
- Calculer la masse volumique (\(\rho_{\text{roche}}\)) de l'échantillon en kg/m³.
- Comparer la valeur obtenue à des données de référence (voir tableau ci-dessous) et identifier la nature probable de la roche.
- Calculer la densité de la roche par rapport à l'eau.
| Type de Roche | Masse Volumique (kg/m³) |
|---|---|
| Granite | 2600 - 2750 |
| Calcaire | 2300 - 2600 |
| Basalte | 2800 - 3000 |
Les bases sur la Pesée Hydrostatique
La pesée hydrostatique repose entièrement sur le principe d'Archimède.
1. Principe d'Archimède
Un objet immergé dans un fluide subit une force ascendante, appelée poussée d'Archimède (\(F_A\)), égale au poids du fluide qu'il déplace. Cette poussée est la raison pour laquelle les objets semblent plus légers dans l'eau. Le poids du fluide déplacé est \(P_{\text{fluide}} = m_{\text{fluide}} \cdot g\). Comme la masse est le volume multiplié par la masse volumique (\(m = \rho \cdot V\)), on peut écrire :
\[ F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{objet}} \cdot g \]
Où \(V_{\text{objet}}\) est le volume de l'objet immergé (qui est égal au volume de fluide déplacé).
2. Masse Volumique et Densité
La masse volumique (\(\rho\)) est la masse par unité de volume. Sa formule est :
\[ \rho = \frac{m}{V} \]
La densité (d) est le rapport entre la masse volumique d'un corps et celle d'un corps de référence (généralement l'eau pour les solides et les liquides). C'est une grandeur sans dimension.
\[ d = \frac{\rho_{\text{corps}}}{\rho_{\text{eau}}} \]
Correction : Calcul de la Masse Volumique par Pesée Hydrostatique
Question 1 : Calculer la masse "perdue" (masse du volume d'eau déplacé) par l'échantillon.
Principe
Le concept physique clé ici est que la "perte" de masse n'est pas une vraie perte. C'est une masse "apparente" due à la poussée d'Archimède. Cette force ascendante, exercée par l'eau, s'oppose au poids de l'objet, donnant l'impression qu'il est plus léger. La différence de masse mesurée correspond exactement à la masse du fluide que l'objet a déplacé en prenant sa place.
Mini-Cours
Une balance ne mesure pas directement la masse, mais une force (le poids) qu'elle convertit en masse via la constante \(g\). Le poids réel de l'objet est \(P_{\text{air}} = m_{\text{air}} \cdot g\). Dans l'eau, la balance mesure un poids apparent \(P_{\text{eau}} = m_{\text{eau}} \cdot g\), qui est le poids réel moins la poussée d'Archimède : \(P_{\text{eau}} = P_{\text{air}} - F_A\). Donc, \(F_A = P_{\text{air}} - P_{\text{eau}} = (m_{\text{air}} - m_{\text{eau}}) \cdot g\). Or, \(F_A\) est aussi le poids de l'eau déplacée : \(F_A = m_{\text{depl}} \cdot g\). En simplifiant par \(g\), on obtient directement \(m_{\text{depl}} = m_{\text{air}} - m_{\text{eau}}\).
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous essayez de soulever un ami dans une piscine. Il vous semblera beaucoup plus léger ! Ce n'est pas qu'il a perdu de la masse, c'est que l'eau vous aide en le poussant vers le haut. La "force" que vous n'avez plus besoin de fournir correspond à cette aide de l'eau. C'est la même chose pour la balance.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de "norme" pour ce calcul de base, les procédures de laboratoire pour ce type de mesure sont souvent standardisées (par exemple, par l'ASTM ou l'ISO) pour garantir la répétabilité et la précision, en spécifiant la température du fluide, la propreté de l'équipement, etc.
Formule(s)
L'outil mathématique est une simple soustraction pour trouver la masse du fluide déplacé (\(m_{\text{depl}}\)).
Hypothèses
Pour ce calcul, on suppose que la balance est correctement tarée (mise à zéro) avant chaque mesure et que l'échantillon est entièrement immergé sans toucher les parois du récipient.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont les deux mesures de masse fournies dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse dans l'air | \(m_{\text{air}}\) | 450.0 | g |
| Masse apparente dans l'eau | \(m_{\text{eau}}\) | 285.0 | g |
Astuces
Pas de raccourci pour une soustraction simple, mais gardez ce résultat en tête : c'est la clé qui va nous ouvrir la porte du calcul du volume à la prochaine étape.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On applique la formule avec les données de l'énoncé.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat, 165.0 g, signifie que si l'on prenait un volume d'eau exactement identique au volume de notre roche, cet eau pèserait 165.0 g. C'est une information cruciale.
Points de vigilance
Assurez-vous de soustraire dans le bon sens : la masse dans l'air (la plus grande) moins la masse dans l'eau (la plus petite). Un résultat négatif serait un signal d'erreur.
Points à retenir
La différence de masse mesurée entre l'air et un fluide est égale à la masse du volume de fluide déplacé. C'est le point de départ de toute analyse par pesée hydrostatique.
Le saviez-vous ?
La légende raconte qu'Archimède aurait eu cette révélation dans son bain en voyant le niveau de l'eau monter. Il serait sorti nu dans la rue en criant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !"). Il a utilisé ce principe pour prouver que la couronne du roi Hiéron II n'était pas en or pur, sans l'endommager.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si une autre roche pèse 300g dans l'air et 210g dans l'eau, quelle est la masse d'eau déplacée ?
Question 2 : En déduire le volume de l'échantillon de roche.
Principe
Le concept physique est que le volume d'un corps solide immergé est, par définition, égal au volume du fluide qu'il déplace. Puisque nous connaissons la masse de l'eau déplacée (Q1) et la masse volumique de l'eau, nous pouvons calculer le volume de cette eau, et donc le volume de notre roche.
Mini-Cours
La relation fondamentale qui lie la masse (\(m\)), le volume (\(V\)) et la masse volumique (\(\rho\)) est \(\rho = m/V\). Pour trouver le volume, nous la réarrangeons en \(V = m/\rho\). Dans notre cas, nous appliquons cette formule à l'eau qui a été déplacée par l'objet : \(V_{\text{eau\_depl}} = m_{\text{depl}} / \rho_{\text{eau}}\). Et comme \(V_{\text{objet}} = V_{\text{eau\_depl}}\), nous trouvons le volume de notre objet.
Remarque Pédagogique
C'est toute la puissance de cette méthode : elle permet de mesurer le volume d'un objet à la forme très complexe (comme une roche) avec une grande précision, ce qui serait quasi impossible avec des instruments de mesure de longueur comme un pied à coulisse.
Normes
La valeur de la masse volumique de l'eau (\(\rho_{\text{eau}}\)) est standardisée et dépend de la température. Les tables de référence (par exemple, celles de l'IAPWS - International Association for the Properties of Water and Steam) fournissent des valeurs très précises. Utiliser la bonne valeur est crucial pour des mesures de haute précision.
Formule(s)
L'outil mathématique principal est la formule du volume dérivée de la masse volumique.
Hypothèses
On suppose que la roche est non poreuse. Si elle absorbait de l'eau, le volume calculé serait légèrement faussé car une partie de l'eau pénétrerait dans l'échantillon au lieu d'être uniquement déplacée.
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question 1 et une donnée de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse d'eau déplacée | \(m_{\text{depl}}\) | 165.0 | g |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 998.2 | kg/m³ |
Astuces
Pour une estimation rapide, on peut approximer la masse volumique de l'eau à 1 g/cm³. Dans ce cas, la masse d'eau déplacée en grammes est numériquement égale au volume de l'objet en cm³. Ici, 165 g d'eau déplacée correspondraient à environ 165 cm³.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
La conversion des unités est l'étape la plus importante. Nous devons utiliser des unités cohérentes (kg et m³).
Maintenant, nous pouvons appliquer la formule.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Nous avons réussi à déterminer le volume d'un objet irrégulier avec une simple balance. Ce résultat est la deuxième clé nécessaire pour trouver la propriété intrinsèque du matériau : sa masse volumique.
Points de vigilance
L'erreur fatale est de diviser des grammes par des kg/m³. Assurez-vous que toutes vos unités appartiennent au Système International (kg, m, s) avant de faire le calcul final. \(0.165 / 998.2\) est correct, mais \(165 / 998.2\) donnerait un résultat complètement faux.
Points à retenir
Le volume d'un objet immergé est égal à la masse de fluide déplacé divisée par la masse volumique de ce fluide. C'est l'application la plus directe du principe d'Archimède.
Le saviez-vous ?
Les icebergs flottent car la masse volumique de la glace (environ 917 kg/m³) est inférieure à celle de l'eau de mer (environ 1025 kg/m³). La partie immergée de l'iceberg déplace un volume d'eau de mer dont le poids est exactement égal au poids total de l'iceberg. C'est pourquoi environ 90% de l'iceberg se trouve sous la surface !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la masse d'eau déplacée par un autre objet est de 90 g, quel est son volume en m³ ? (Utilisez \(\rho_{\text{eau}} = 998.2\) kg/m³)
Question 3 : Calculer la masse volumique (\(\rho_{\text{roche}}\)) de l'échantillon.
Principe
Le concept physique est la définition même de la masse volumique : c'est une propriété intrinsèque d'un matériau qui représente sa masse par unité de volume. Ayant déterminé la masse réelle de la roche (dans l'air) et son volume, nous avons toutes les informations pour la calculer.
Mini-Cours
La masse volumique, notée \(\rho\), est une caractéristique fondamentale d'une substance homogène. Elle ne dépend pas de la quantité de matière, mais de sa nature. Par exemple, un petit morceau de fer et une grosse poutre en fer ont la même masse volumique. C'est une "carte d'identité" du matériau.
Remarque Pédagogique
Nous assemblons maintenant les deux pièces du puzzle : la mesure initiale (\(m_{\text{air}}\)) et le résultat de notre analyse hydrostatique (\(V_{\text{roche}}\)). C'est la synthèse de tout le processus expérimental.
Normes
Les valeurs de masse volumique des matériaux de construction comme les roches sont répertoriées dans des normes (comme les Eurocodes en Europe) pour être utilisées dans les calculs de structure, afin de déterminer le poids propre des bâtiments et des ouvrages.
Formule(s)
L'outil mathématique est la formule de définition de la masse volumique.
Hypothèses
On suppose que l'échantillon de roche est homogène, c'est-à-dire que sa masse volumique est la même en tout point. S'il était composé de plusieurs minéraux de densités très différentes, la valeur calculée serait une masse volumique moyenne.
Donnée(s)
Nous utilisons la masse initiale et le volume calculé à la question 2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse dans l'air | \(m_{\text{air}}\) | 450.0 | g |
| Volume de la roche | \(V_{\text{roche}}\) | \(1.653 \times 10^{-4}\) | m³ |
Astuces
Pour éviter les erreurs avec les puissances de 10, on peut faire le calcul en g et cm³. \(m_{\text{air}} = 450\) g, \(V_{\text{roche}} \approx 165.3\) cm³. \(\rho = 450 / 165.3 \approx 2.72\) g/cm³. Pour convertir des g/cm³ en kg/m³, il suffit de multiplier par 1000. On obtient donc environ 2720 kg/m³, ce qui permet de vérifier rapidement notre ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On convertit la masse en kg pour être cohérent avec le volume en m³.
On applique la formule en utilisant la valeur non arrondie du volume pour plus de précision.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Ce résultat de 2723 kg/m³ est une donnée quantitative qui caractérise notre échantillon. Elle nous permet de le comparer à d'autres matériaux de manière objective. C'est bien plus qu'un simple "caillou lourd".
Points de vigilance
L'erreur classique est d'utiliser la masse apparente dans l'eau (\(m_{\text{eau}}\)) au lieu de la masse réelle (\(m_{\text{air}}\)) dans le calcul final. Rappelez-vous : la masse volumique est la masse *réelle* par unité de volume.
Points à retenir
La masse volumique d'un objet est sa masse réelle (mesurée dans l'air ou le vide) divisée par son volume total. C'est la conclusion de l'expérience de pesée hydrostatique.
Le saviez-vous ?
L'élément le plus dense sur Terre à des conditions normales de température et de pression est l'Osmium (\(\rho \approx 22 590\) kg/m³). Un litre d'Osmium (la taille d'une brique de lait) pèserait près de 23 kg !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Un objet a une masse de 300g et un volume de \(9.016 \times 10^{-5}\) m³. Quelle est sa masse volumique en kg/m³ ?
Question 4 : Identifier la nature probable de la roche.
Principe
Le concept ici est l'identification des matériaux par leurs propriétés physiques. La masse volumique étant une caractéristique d'un matériau, on peut la comparer à des valeurs de référence pour identifier une substance inconnue.
Mini-Cours
En science des matériaux, les propriétés comme la masse volumique, la dureté, la conductivité thermique ou la couleur sont utilisées pour classer et identifier les substances. Pour les roches, la composition minéralogique dicte la masse volumique. Le quartz et le feldspath (composants du granite) sont moins denses que les pyroxènes et l'olivine (composants du basalte).
Remarque Pédagogique
C'est l'application pratique de nos calculs. En ingénierie, on ne calcule pas pour le plaisir, mais pour prendre une décision. Ici, la décision est d'identifier la roche, ce qui pourrait avoir des conséquences sur le choix des techniques de fondation ou d'excavation sur un chantier.
Normes
Les classifications des roches et leurs propriétés moyennes sont répertoriées dans des manuels de géologie et de géotechnique qui servent de référence aux ingénieurs.
Formule(s)
Il n'y a pas de formule ici, seulement une comparaison logique entre une valeur calculée et un intervalle de référence.
Hypothèses
On suppose que notre échantillon est représentatif de l'une des trois roches proposées et qu'il n'est pas un mélange ou une roche métamorphique aux propriétés intermédiaires.
Donnée(s)
La donnée d'entrée est notre résultat de la Q3 et le tableau de référence.
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Masse volumique calculée | 2723 kg/m³ |
| Intervalle Granite | 2600 - 2750 kg/m³ |
| Intervalle Calcaire | 2300 - 2600 kg/m³ |
| Intervalle Basalte | 2800 - 3000 kg/m³ |
Astuces
Pas d'astuce de calcul, mais une astuce de raisonnement : éliminez d'abord les options clairement fausses. 2723 est bien au-dessus de l'intervalle du calcaire et en dessous de celui du basalte. Le granite est le seul candidat plausible.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
La démarche n'est pas un calcul mais une comparaison : \(2600 \le 2723 \le 2750\). L'affirmation est vraie.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
L'identification est une "forte probabilité" et non une certitude absolue. D'autres tests (analyse chimique, observation au microscope) seraient nécessaires pour une identification formelle. Cependant, pour de nombreuses applications d'ingénierie, cette détermination est suffisante.
Points de vigilance
Attention à ne pas conclure trop vite si la valeur est à la limite d'un intervalle. Les roches naturelles ont des variations de composition qui peuvent faire fluctuer leur masse volumique.
Points à retenir
La comparaison des propriétés physiques mesurées à des tables de valeurs standard est une méthode fondamentale d'identification en science et en ingénierie.
Le saviez-vous ?
Le granite est une roche magmatique qui se forme lorsque le magma refroidit lentement sous la surface de la Terre. C'est ce refroidissement lent qui permet la formation de grands cristaux visibles à l'œil nu, lui donnant son aspect granuleux caractéristique.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si une analyse donnait une masse volumique de 2950 kg/m³, de quelle roche s'agirait-il probablement ?
Question 5 : Calculer la densité de la roche.
Principe
Le concept de densité permet de comparer la "lourdeur" d'une substance par rapport à une autre de référence (l'eau). C'est un rapport, donc une valeur pure, sans unité, qui est universellement comprise. Une densité de 2.73 signifie que le matériau est 2.73 fois plus lourd que l'eau, à volume égal.
Mini-Cours
Alors que la masse volumique dépend du système d'unités (kg/m³, g/cm³, lb/ft³), la densité est adimensionnelle, ce qui la rend très pratique pour les comparaisons internationales. En pratique, pour les solides et liquides, la densité par rapport à l'eau est numériquement très proche de la masse volumique exprimée en g/cm³ (car \(\rho_{\text{eau}} \approx 1\) g/cm³).
Remarque Pédagogique
C'est la dernière étape de notre analyse. Le calcul de la densité est une façon standard de présenter le résultat final, souvent plus intuitive qu'une masse volumique en kg/m³.
Normes
La substance de référence pour la densité est généralement l'eau à 4°C, température à laquelle sa masse volumique est maximale (environ 1000 kg/m³). L'utilisation de cette référence est une convention standard.
Formule(s)
Il y a deux façons équivalentes de calculer la densité.
Avec les masses volumiques :
Avec les masses (Astuce) :
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire ; ce calcul découle directement des précédents.
Donnée(s)
On peut utiliser soit les masses volumiques, soit les masses initiales.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique roche | \(\rho_{\text{roche}}\) | 2722.5 | kg/m³ |
| Masse volumique eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 998.2 | kg/m³ |
| Masse dans l'air | \(m_{\text{air}}\) | 450.0 | g |
| Masse déplacée | \(m_{\text{depl}}\) | 165.0 | g |
Astuces
Utiliser le rapport des masses (\(m_{\text{air}}/m_{\text{depl}}\)) est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs de calculs intermédiaires, car on utilise directement les données de mesure brutes.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Calcul avec la méthode des masses volumiques :
Calcul avec la méthode des masses :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le résultat confirme que la roche est bien plus dense que l'eau, ce qui est attendu. Une densité supérieure à 1 signifie que l'objet coule dans l'eau.
Points de vigilance
Ne pas oublier que la densité n'a pas d'unité ! Écrire "d = 2.73 kg/m³" est une erreur conceptuelle. C'est un rapport pur.
Points à retenir
La densité est le rapport de la masse volumique d'un corps à celle de l'eau. C'est une grandeur sans unité qui indique combien de fois un matériau est plus dense que l'eau.
Le saviez-vous ?
La Mer Morte a une salinité si élevée que la masse volumique de son eau est d'environ 1240 kg/m³. Sa densité est donc de 1.24. C'est pourquoi le corps humain (densité légèrement inférieure à 1) y flotte si facilement !
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Un objet pèse 300g dans l'air et 210g dans l'eau. Quelle est sa densité ?
Outil Interactif : Simulateur de Pesée Hydrostatique
Utilisez les curseurs pour faire varier la masse de l'objet dans l'air et sa masse apparente dans l'eau. Observez comment son volume et sa masse volumique changent en conséquence.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La différence entre le poids d'un objet dans l'air et son poids dans l'eau est égale...
2. Si un objet a une masse de 200g dans l'air et 150g dans l'eau, quel est le volume d'eau déplacé ? (\(\rho_{\text{eau}} \approx 1 \text{ g/cm³}\))
3. Un objet flotte. Qu'est-ce que cela implique sur sa masse volumique ?
4. La densité est une grandeur...
5. Si on réalisait la même expérience sur la Lune (pesanteur ~1/6 de la Terre), la masse volumique calculée de la roche serait...
- Masse Volumique (\(\rho\))
- Propriété physique qui mesure la masse d'un matériau par unité de volume. L'unité SI est le kilogramme par mètre cube (kg/m³).
- Pesée Hydrostatique
- Technique de mesure du volume et de la masse volumique d'un objet en le pesant dans l'air puis immergé dans un fluide de masse volumique connue.
- Poussée d'Archimède (\(F_A\))
- Force ascendante exercée par un fluide sur un objet immergé. Elle est égale au poids du volume de fluide que l'objet déplace.
- Densité (d)
- Rapport sans dimension entre la masse volumique d'une substance et la masse volumique d'une substance de référence (généralement l'eau).
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